专题02 解直角三角形的三种实际应用-【B卷必考】2021-2022学年九年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题02 解直角三角形的三种实际应用 类型一、求距离 例1.如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东75°方向，距离灯塔60海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据，） 【答案】B处距离灯塔P82海里． 【解析】作AH⊥PB，垂足为H， ∵PQ∥AB，∴∠B=∠BPQ=45°，∠PAB=75°，∴∠APB=180°-75°-45°=60°， 在Rt△APH中，sin∠APH=，cos∠APH=， ∴AH=APsin∠APH=60×sin60°=60×=30，PH=APcos60°=60×=30， ∴在Rt△ABH中，tanB=，BH=， ∴PB=PH+BH=30+30≈30+30×1.732≈82 答：B处距离灯塔P82海里． 【变式训练1】张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上．洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为，，，．求的长（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】27.7cm 【解析】如图，作 则，， ，，∴ ， ，∴ ， ∴ 答：EC的长是27.7cm． 【变式训练2】如图，某地政府为解决当地农户网络销售农特产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道．无人机从点A的正上方点C，沿正东方向以的速度飞行15s到达点D，测得A的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行50s到达点E，测得点B的俯角为37°． （1）求无人机的高度（结果保留根号）； （2）求的长度（结果精确到1m）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）无人机的高度AC=；（2）AB的长度为382m． 【解析】（1）根据题意得：CD=8(m)， 在Rt△CDA中，∠ACD=90°，∠ADC=60°，∴，∴AC=120(m)， 答：无人机的高度AC=； （2）根据题意得：DE=8(m)，则CE= DE+CD=520(m)， 过点B作BF⊥CE于点F， 则四边形ABFC为矩形，∴AB=FC，BF=AC=， 在Rt△BFE中，∠BFE=90°，∠BEF=37°， ∴，∴EF==138.4(m)， ∴AB=FC=CE-EF=520-138=382(m)， 答：AB的长度为382m． 类型二、求高度 例1.如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上．求山顶D的高度．（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35） 【答案】114m 【解析】过点C作CE⊥DG于E，CB的延长线交AG于F，设山顶的所在线段为DG，如图所示 在Rt△BAF中，α＝30°，AB=50m，则BF=(m) ∴CF=BC+BF=30+25=55(m) 在Rt△DCE中，∠DCE，CD=180m ∴(m) ∵四边形CFGE是矩形，∴EG=CF，∴DG=DE+EG=DE+CF=59+55=114(m) 即山顶D的高度为114m． 【变式训练1】有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来．一座楼阁镇四方，团结一心建家乡．年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁．芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁”的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶处的仰角为30°，在平地上处观测到楼顶处的仰角为，并测得A、两处相距，求“一心阁”的高度．（结果保留小数点后一位，参考数据：，） 【答案】m 【解析】由题意得：，∴CH=BH， 设CH=BH=xm，则有m， ∴，即，解得：， ∴m． 故答案为：m 【变式训练2】某数学社团开展实践性研究，测量翠岛湖公园的信号塔．小明站在点处仰望塔顶，测得仰角为，小明沿着坡向下走了13米后，到达了处，坡的坡度为5：12，从到塔底的距离为75米，请帮助小明计算信号塔的高度． 【答案】 【解析】如图，过点作于点，作交的延长线与点． ∵ ∴四边形DEBF是矩形∴， ∵坡的坡度为5：12∴设， 在中， ∵，∴ ，解得， ，， ∵，∴ ，∴ ∵在直角中，∵，， ∵，∴， ∴． 答：信号塔的高为78.08米． 【变式训练3】如图，某同学在大楼的观光电梯中的E点测得大楼楼底C点的俯角为，此时该同学距地面高度为80米，电梯再上升10米到达D点，此时测得大楼楼顶B点的仰角为，求大楼的高度．（参考数据：）． 【答案】150 【解析】过点E、D分别作BC的垂线，交BC于点F、G． 在Rt△EFC中，因为FC=AE=80，∠F