专题01 作辅助线解直角三角形三种问题-【B卷必考】2021-2022学年九年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）

专题01 作辅助线解直角三角形三种问题 类型一、求长度、面积 例1.如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（ ） A．6米 B．米 C．4米 D．米 【答案】D 【解析】分别作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F， ∵DC∥AB，∴， 在Rt△ADE中，∵ AD = 8米，坡角α =30°，DE = ADsinα = 8sin30° = 4米； 在Rt△ADE中，坡BC的坡角β = 45°，∴． 故答案为：D 【变式训练1】如图，在四边形中，，，，．则的长的值为__________． 【答案】 【解析】如图，延长BC，AD交于E， ∵，∴， ∴， ∵，∴， ∵，∴,∴BC=BE-CE=， ∴． 故答案为： 【变式训练2】已知AB=AC,tanA=2，BC=5，则△ABC的面积为_______________. 【答案】 【解析】如图作CD⊥AB， ∵tanA=2，设AD=x,CD=2x,∴AC=x，∴BD=， 在Rt△CBD中BC2=BD2+CD2,即52=4x2+,x2=， ∴S△ABC=== 【变式训练3】如图，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AC=AD，BC＞AB，AB∥CD，AB=4，BD=2，tan∠BAC=3，则线段BC的长是_____． 【答案】6 【解析】如图：作DE⊥AB，交BA的延长线于E，作CF⊥AB， ∵AB∥CD，DE⊥AB⊥，CF⊥AB，∴CF=DE，且AC=AD，∴Rt△ADE≌Rt△AFC，∴AE=AF，∠DAE=∠BAC ∵tan∠BAC=3，∴tan∠DAE=3，∴设AE=a，DE=3a 在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2，∴52=（4+a）2+27a2 解得a1=1，a2=-（不合题意舍去），∴AE=1=AF，DE=3=CF，∴BF=AB-AF=3 在Rt△BFC中，BC=＝6 故答案为：6 【变式训练4】如图，在中，，过点作，，连接，则的周长为____． 【答案】 【解析】过点作交延长线于点，如图： ∴ ∵，，∴是等边三角形 ∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴ ∵，∴ ∵，∴，∴在中， ， ∴，，∴ ∴在中， ∴的周长为． 故答案是： 类型二、求最值 例1.如图，在中，，，为边上的一个动点（不与、重合），连接，则的最小值是（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】如图，以为斜边向外作等腰直角三角形， ∵，∴ ∴当在同一直线上时，取得最小值. 在中，，，， ∴∴. 故选：B 类型三、实际应用问题 例1.某地铁站口的垂直截图如图所示，已知∠A=30°，∠ABC=75°，AB=BC=4米，求C点到地面AD的距离（结果保留根号）． 【答案】C点到地面AD的距离为：（2+2）m． 【解析】过点B作BE⊥AD于E，作BF∥AD，过C作CF⊥BF于F， 在Rt△ABE中，∵∠A=30°，AB=4m，∴BE=2m， 由题意可得：BF∥AD，则∠FBA=∠A=30°， 在Rt△CBF中， ∵∠ABC=75°，∴∠CBF=45°， ∵BC=4m，∴CF=sin45°•BC= ∴C点到地面AD的距离为： 【变式训练1】某型号飞机的机翼形状如图所示，已知所在直线互相平行且都与所在直线垂直，．，，，．求的长度（参考数，，，，，） 【答案】 【解析】如图，延长交过点平行于的直线于点， 在中， 在中， . 则. . 答: 的长度为. 【变式训练2】问题呈现： 如图 1，在边长为 1 小的正方形网格中，连接格点 A、B 和 C、D，AB 和 CD 相交于点 P，求 tan ∠CPB 的值方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形，观察发现问题中∠ CPB不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点 B、 E，可得 BE∥CD，则∠ABE=∠CPB，连接AE，那么∠CPB 就变换到 Rt△ABE 中．问题解决： （1）直接写出图 1 中 tan CPB 的值为______； （2）如图 2，在边长为 1 的正方形网格中，AB 与 CD 相交于点 P，求 cos CPB 的值． 【答案】（1）2；（2） 【解析】（1）连接格点 B、 E， ∵BC∥DE，BC=DE，∴四边形BCDE是平行四边形， ∴DC∥BE，∴∠CPB=∠ABE， ∵AE=，BE=，AB= ，， ∴△ABE是直角三角形，∠AEB=90°， ∴tan∠CPB= tan∠ABE=，故答案为：2； （2）如图2所示，取格点M，连接CM，DM， ∵CB∥AM，CB=AM，∴四边形ABCM是平行四边形， ∴CM∥AB，∴∠CPB=∠MCD， ∵C