3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示-2021-2022学年高二数学理科选修系列精品教学课件 (人教A版)

3.1 空间向量及其运算 3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 1. 空间任一向量可用一个基底表示吗? 这个基底是怎样的一组向量? 2. 空间向量的坐标是基于怎样的一个基底得到的? 3. 已知向量的坐标, 怎标在空间直角坐标系中标出向量? 学 习 要 点 问题1. 类比平面向量的基本定理, 对于空间向量, 你能叙述类似的一个结论吗? 空间向量基本定理: 如果三个向量 a, b, c 不共面, 那么对空间任一向量 p, 存在有序实数组 {x, y, z}, 使得 p=xa+yb+zc. 事实上, 如图所示: a b p 基本定理, 在 a, b 所在的平面内找一向 根据平面向量 量 g, 使其与 c, p 共面, 则 g=l1a+l2b, ∴ p=m1(l1a+l2b)+m2c g c a b p=m1g+m2c. =xa+yb+zc. 问题1. 类比平面向量的基本定理, 对于空间向量, 你能叙述类似的一个结论吗? 空间向量基本定理: 如果三个向量 a, b, c 不共面, 那么对空间任一向量 p, 存在有序实数组 {x, y, z}, 使得 p=xa+yb+zc. 如果三个向量 a, b, c 不共面, 那么所有空间向量组成的集合就是 { p | p=xa+yb+zc, x, y, zR }. 这个集合可看作是由向量 a, b, c 生成的, 我们把 {a, b, c} 叫做空间的一个基底, a, b, c 叫做基向量. 空间任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底. 设 e1, e2, e3 为有公共起点 O 的三个两两垂直的单位向量, 以 e1, e2, e3 的公共起点 O 为原点, 分别为 e1, e2, e3 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz, 那么, 对于空间任意一个向量 p,