必考点09椭圆-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点09 椭圆 题型一 椭圆的定义及应用 例题1(1)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A. 　　　　　 B. C. D. (2)已知F1，F2是椭圆C： (a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝__________. (3)已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________． 【答案】(1)D　(2)3　(3)6＋　6－ 【解析】(1)设圆M的半径为r， 则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|， 所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8， 故所求的轨迹方程为. (2)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，则 ∴2r1r2＝(r1＋r2)2－()＝4a2－4c2＝4b2， ∴S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，∴b＝3. (3)椭圆方程化为， 设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)， ∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6， 又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)， ∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋. 【解题技巧提炼】 椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等． 题型二 椭圆的标准方程 例题1（1）如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为(　　) A. 　　　　　　 B. C. D. （2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，)，则椭圆的方程为____________________． (3)过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为____________． 【答案】(1)C　(2) 　(3) 【解析】(1)由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90° ，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中， 由勾股定理，得|PF′|＝＝8， 由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14， 从而a＝7，a2＝49， 于是b2＝a2－c2＝49－25＝24， ∴椭圆C的方程为，故选C. (2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)． 由解得m＝，n＝. 所以椭圆方程为. (3)法一：定义法 椭圆的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4. 由椭圆的定义，知2a＝， 解得a＝2.由c2＝a2－b2可得b2＝4， 所以所椭圆的标准方程为. 法二：待定系数法 ∵所求椭圆与椭圆的焦点相同， ∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16. 设它的标准方程为 (a＞b＞0)． ∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.① 又点(，－)在所求椭圆上，即.② 由①②得b2＝4，a2＝20， ∴所求椭圆的标准方程为. 【解题技巧提炼】 定义法 根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程 待定系数法 待定系数法是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可 题型三 求离心率 例题1（1）已知F1，F2是椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. (2)过椭圆C： (a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】(1)D　(2)A 【解析】(1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝ (2)由题设