专题16三角函数与解三角形第三缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题16三角函数与解三角形第三缉 1．【2017年山西预赛】若三个角构成等差数列,其公差为,则. . 【答案】 【解析】， 所以，， 相加得 2．【2017年辽宁预赛】设是定义在上的函数,满足则函数的解析式为 . 【答案】 【解析】提示：由已知及得 从而. 3．【2017年吉林预赛】已知锐角三角形中3,则的面积为 . 【答案】 【解析】由得， 即，故. 又因为， 且所以. 设边上的高为,则，即, 故. 4．【2017年山东预赛】函数的值域为 . 【答案】 【解析】提示:令则 且,所以点在圆上. 如图所示,设直线的倾斜角为,则,所以. 5．【2017年山东预赛】在一个边长为的正方形草坪的四个角上都安有喷水装置,喷水装置可以旋转喷水,每个喷水装置都可以从其所在角的一边旋转喷水至该角的另一边,其有效射程均为,则草坪上能同时被四个喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为 . 【答案】 【解析】提示：如图,即求凸四边形的面积占正方形的面积的比例. 过作,以点为原点,为轴,为轴建立坐标系, 则所在圆的方程为所在圆的方程为, 联立方程得,,即,则. 同理可得.所以, 因此 所以则草坪上能同时被四个喷水装置覆盖的区域占整个草坪的比例为. 6．【2017年福建预赛】在中,内角所对的边分别是,且,则的面积为 . 【答案】6 【解析】提示：由,知， 所以， 故. 所以,即. 又所以, 即解得或. 所以或 所以 7．【2017年江西预赛】若,则 . 【答案】 【解析】提示:, 8．【2017年贵州预赛】已知中,,内切圆半径,则这个三角形的面积为 . 【答案】 【解析】提示:由,设,又由及余弦定理得. 因为的内切圆半径, 根据三角形面积公式,得 故. 9．【2017年安徽预赛】设圆内接四边形的边长分别为,,则四边形的面积是 . 【答案】 【解析】提示：由余弦定理, 再由四点共圆,. 因此， 四边形的面积. 10．【2017年安徽预赛】设,若对任意恒有则的取值范围是 . 【答案】 【解析】提示: 设满足,则 另一方面,由且,可得对于都有 注意到在上单调递增,. 故的取值范围是. 11．【2017年广东预赛】设均为正整数,则 . 【答案】1或0 【解析】提示：因为分别是多项式与的根, 因此当时由根与系数的关系可得， 所以， 故， 而当时,. 12．【2017年广东预赛】已知是一个三角形的三个内角,如果取得最大值,则 . 【答案】 【解析】提示:若中至少有两个不等,不妨设, 则 因此当且仅当时,取得最大值, 故 13．【2017年广西预赛】函数的最大值是 . 【答案】 【解析】提示:设 因为,所以 因为，， 所以最大值是. 14．【2017年浙江预赛】设,且,则 . 【答案】 【解析】提示：由于且,所以.故. 15．【2017年湖南预赛】设,且则 . 【答案】0 【解析】 提示：已知等式可化为，即. 若，则， 所以，即，. 若,则 所以(不合要求,舍去),故. 16．【2017年江苏预赛】若,则 . 【答案】 【解析】提示:因为， 所以,或. 若,则,从而. 由,得. 经检验可知,满足原方程. 17．【2017年新疆预赛】函数的值域为 . 【答案】 【解析】提示:由 令则, 故. 18．【2017年新疆预赛】已知圆内接四边形的边长分别为2,则四边形的面积为 . 【答案】 【解析】提示：连结,则四边形的面积， 由,可得,故. 由余弦定理得, ， 因此，即， 由于，故 因此,四边形的面积为. 19．【2017年新疆预赛】在中,.以为圆心,为半径的圆交于点,连结弧与弦将分为三部分(如图).则三部分面积之比 . 【答案】 【解析】提示:设,则 ， 从而. 20．【2017年新疆预赛】已知在中,成等差数列.则的最小值为 . 【答案】 【解析】提示:由于、成等差数列,所以 ① 又从而有 ② 将①代入②,得到 从而、 再由均值不等式得： 从而.由于,故其最小值为. 21．【2017年内蒙古预赛】锐角三角形的内角满足且,则 . 【答案】 【解析】提示：因为,所以 所以,故. 所以所以. 又,所以. 22．【2016年福建预赛】若函数 的最小正周期为π，则f(x)在区间上的最大值为________. 【答案】 【解析】 注意到， ， 且f(x)的最小正周期为π. 则ω=2，. 又时，. 故当2x+=，即x=0时，f(x)在区间上取最大值2. 23．【2016年山东预赛】若实数x满足，则关系式的取值范围是 ________. 【答案】 【解析】 若，则 . 此时，，不符合条件. 故，此时， . 而在区间上为增函数，由条件得 . 又. 由 . 因此，. 从而，关系式的取值为. 24．【2016年山东