专题3 数系的扩充与复数的引入-学会解题之高三数学321训练体系【2022版】

第五章 平面向量和复数 专题3 数系的扩充与复数的引入 【三年高考精选】 1．（2021年全国高考乙卷）设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，则， 所以，，解得，因此，.故选：C. 2.（2021年全国高考甲卷）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， . 故选：B. 3.（2020年新课标Ⅰ）若z=1+i，则|z2–2z|=（ ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由题意可得：，则. 故. 故选：D. 4.（2019年新课标Ⅰ）设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】则．故选C． 【三年高考刨析】 试题来源 考查考点 数学素养 解题关键 2021年全国高考乙卷 复数的概念 数学抽象 熟练掌握复数的概念 2021年全国高考甲卷 复数的运算 数学运算 熟练掌握复数的运算法则 2020年新课标Ⅰ 复数的运算，复数的模 数学运算 熟练掌握复数的运算法则，复数的模的计算公式 2019年新课标Ⅰ 复数的几何意义 数学运算，直观想象 熟练掌握复数的几何意义 命题 规律 总结 纵观前三年各地高考试题,复数的运算、复数的几何意义是重点, 从考查形式上看，题型一般是选择题、填空题,占5分,试题难度较低. 【2022年高考预测】 预测2022年高考仍会考查复数的运算及几何意义． 【2022年复习指引】 由前三年的高考命题形式 ，对于复数的复习应注意： （1）掌握复数的概念，复数的几何意义. （2）熟记复数的运算法则，能灵活运用. 【2022年考点定位】 考点1 复数的概念 【例1】（多选题）复数满足,则下列说法正确的是（ ） A．的实部为3 B．的虚部为2 C． D． 【答案】BD 【分析】 根据复数的除法运算化简求出，再根据复数的定义、共轭复数的定义和复数的模的运算，分别求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，即可判断得出答案. 【详解】 解：由于， 可得， 所以的实部为-3，虚部为2， 所以，. 故选：BD. 【规律方法技巧】复数的有关概念 (1)复数的概念 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数． (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c；b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)复数的模 向量的模r叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 【考点针对训练】（广东省深圳市普通中学2022届高三上学期质量评估）若复数为纯虚数，则实数a的值为（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】 根据复数运算规则及纯虚数的定义，化简求解参数即可. 【详解】 化简原式可得： z为纯虚数时，≠0即 ，选项A正确，选项BCD错误. 故选A. 考点2 复数的运算 【例2】（2020福建宁德市六校联考）已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意利用复数除法的运算法则计算z的值即可. 【详解】 ， 故选：． 【规律方法技巧】复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式． 复数的四则运算 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (4)除法：＝＝＝(c＋di≠0)． 【考点针对训练】（浙江省舟山中学2020-2021学年高三上学期10月月考）若，则=___________ ，__________ ； 【答案】 ； 【分析】 根据复数的模的公式和复数的运算即可求出答案. 【详解】 因为，所以； . 故答案为：；. 考点3 复数的几何意义 【例3】（湖南省湘潭市2021-2022学年高三上学期一模）已知为虚数单位，复数，，则复数对应的复平面上的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】 由复数的乘