专题2 平面向量的数量积及其应用-学会解题之高三数学321训练体系【2022版】

第五章 平面向量和复数 专题2 平面向量的数量积及其应用 【三年高考精选】 1.（2021年全国高考乙卷）已知向量，若，则__________． 【答案】 【分析】因为，所以由可得， ，解得． 故答案为：． 2．（2021年全国高考甲卷）若向量满足，则_________. 【答案】 【分析】∵ ∴ ∴. 故答案为：. 3.（2020年新课标Ⅲ）已知向量 ，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】，，，. ， 因此，. 故选：D. 4.（2021年全国新高考Ⅰ卷）已知为坐标原点，点，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A：，，所以，，故，正确； B：，，所以，同理，故不一定相等，错误； C：由题意得：，，正确； D：由题意得：， ，故一般来说故错误； 故选：AC 【三年高考刨析】 试题来源 考查考点 数学素养 解题关键 2021年全国高考乙卷 向量的数量积 数学运算 熟练掌握数量积的坐标运算法则 2021年全国高考甲卷 向量的数量积、模 数学运算 熟练掌握数量积的运算法则 2020年新课标Ⅲ 向量的夹角 数学运算 熟练掌握向量夹角的计算公式 2021年全国新高考Ⅰ卷 向量的数量积的运用 数学运算 熟练掌握数量积的坐标运算法则，熟记三角函数公式 命题 规律 总结 纵观前三年各地高考试题,平面向量的数量积仍是每年高考考试的重点, 主要以考查平面向量数量积的坐标运算；从考查形式上看，题型一般是选择题、填空题，有时解答题中页涉及,占5分,试题难度较低. 【2022年高考预测】 预测2022年高考仍会考查平面向量的数量积，特别是平面几何中的数量积问题． 【2022年复习指引】 由前三年的高考命题形式，复习平面向量的数量积及其应用应注意以下几点； （1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义； （2）弄清平面向量的数量积与向量投影的关系． （3）掌握向量数量积的两种运算方法： 方法一：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 方法二：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. （4）灵活运用数形结合思想、等价转化思想. 【2022年考点定位】 考点1 平面向量数量积的运算 【例1】（多选题）已知向量＝（1，），＝（λ，1），若（﹣4）•＝4，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】 （﹣4）•＝，解得λ＝﹣，故A错误；，故B正确；计算得到与不共线，故C错误；因为＝0，故⊥，故D正确． 【详解】 解：向量＝（1，），＝（λ，1）， 则， 所以（﹣4）•＝， 解得λ＝﹣，故A错误； 则＝（，1），所以，故B正确； 因为1×1﹣×（﹣）＝4≠0，故与不共线，故C错误； 因为＝﹣+＝0，故⊥，故D正确． 故选：BD． 【规律方法技巧】平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解． [提醒]　解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简后再运算．但一定要注意向量的夹角与已知平面几何图形中的角的关系是相等还是互补．　 【考点针对训练】（河北省沧州市普通高中2022届高三上学期9月教学质量监测）如图，中，，，分别是的三等分点，若，则（ ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】 以为基底，表示出，根据数量积公式代入数据化简即可. 【详解】 由题意得， ，所以. 所以 ， 故选:D 考点2 平面向量的模与夹角 【例2】（湖北省黄石市2021-2022学年高三上学期9月调研）已知向量的夹角为，，，则（ ） A． B．21 C．3 D．9 【答案】C 【分析】 利用平方的方法求得正确答案. 【详解】 . 故选：C 【规律方法技巧】(1)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：利用向量数量积的定义知，cos θ＝，其中两个向量的夹角θ的范围为[0，π]，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b|或者找出这三个量之间的关系； ②坐标法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cos θ＝ . (2)求向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解． 【