1.1.3 菱形的性质与判定的综合-2021-2022学年九年级上册初三数学【导与练】初中同步学习课件+word（北师大版）

矩形的判定 第2课时　矩形的判定 直角 (1)有一个角是　 　的平行四边形是矩形  因为四边形ABCD是平行四边形,∠ABC= 　 　,所以平行四边形ABCD是矩形  (2)有三个角是　 　的四边形是矩形  因为在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD= ∠BAD=　 　,所以四边形ABCD是矩形 (3)对角线　 　的平行四边形是矩形  因为四边形ABCD是平行四边形,AC= 　 　,所以平行四边形ABCD是矩形  90° 直角 90° 相等 BD 同步·数学 [导学探究] 1.由平行线的性质得到∠AFE=　 　,由线段中点的定义得到AE=　 　.  探究点一　用角判定矩形 [例1] (2020遂宁)如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是线段BC,AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF. 求证:(1)△BDE≌△FAE; ∠DBE DE 同步·数学 证明:(1)因为AF∥BC, 所以∠AFE=∠DBE. 因为E是线段AD的中点, 所以AE=DE. 因为∠AEF=∠DEB, 所以△BDE≌△FAE(AAS). 同步·数学 [导学探究] 2.由△BDE≌△FAE可得AF=BD,由AF∥CD,BD=CD,得四边形ADCF是　 　,由等腰三角形的性质得到∠ADC=　 　.  (2)四边形ADCF为矩形. 平行四边形 90° 证明:(2)因为△BDE≌△FAE,所以AF=BD. 因为D是线段BC的中点, 所以BD=CD.所以AF=CD. 因为AF∥CD, 所以四边形ADCF是平行四边形. 因为AB=AC,所以AD⊥BC. 所以∠ADC=90°.所以四边形ADCF为矩形. 同步·数学 利用直角判定矩形的思路: (1)任意四边形+三个直角⇒矩形; (2)平行四边形+一个直角⇒矩形. 同步·数学 探究点二　用对角线判定矩形 [例2] 如图所示,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,延长OA到N,使ON=OB,再延长OC到M,使CM=AN.求证:四边形NDMB为矩形. [导学探究] 1.由▱ABCD可得OB=　 　,OA=　 　.  2.先证明四边形NDMB为　 　,再证明MN=　 　.  OD OC 平行四边形 BD 同步·数学 证明:因为四边形ABCD为平行四边形, 所以OA=OC,OB=OD. 又因为AN=CM,所以OA+AN=OC+CM, 即ON=OM, 所以四边形NDMB为平行四边形. 因为ON=OB, 所以OM=ON=OB=OD. 所以MN=OM+ON=OB+OD=BD, 所以四边形NDMB为矩形. 同步·数学 利用对角线判定矩形的思路: (1)平行四边形+对角线相等⇒矩形; (2)对角线互相平分+对角线相等⇒矩形. 同步·数学 点击进入 训练案 同步·数学 9 $第2课时　矩形的判定 1.(2020十堰)已知平行四边形ABCD中,下列条件:①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AC平分∠BAD,其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是(　B　) A.① B.② C.③ D.④ 2.如图所示,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=3,若要使平行四边形ABCD为矩形,则OB的长度为(　B　) A.4 B.3 C.2 D.1 3.如图所示,在平行四边形ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是矩形,这个条件是(　A　) 第3题图 A.OM=AC B.MB=MO C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND 4.在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,在下列各组条件中,不能判定四边形ABCD为矩形的是(　C　) A.AB=CD,AD=BC,AC=BD B.AO=CO,BO=DO,∠A=90° C.∠A=∠C,∠B+∠C=180°,AC⊥BD D.∠A=∠B=90°,AC=BD 5.(原创题)东北的小华为了做一个雪橇的底座,做成如图的形状,已经知道这是一个平行四边形,小华的手里只有一个卷尺,要判断这个四边形是否为矩形,量出　对角线　的长度就可以判断.  6.如图所示,AB∥CD,PM,PN,QM,QN分别为角平分线,则四边形PMQN是　矩形　. 第6题图 7.如图所示,在▱ABCD中,AE⊥BC,CF⊥AD,E,F分别为垂足. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)求证:四边形AECF是矩形. 证明:(1)因为四边形ABCD是平行四边形, 所以∠B=∠D,AB=CD,AD∥BC. 因为AE⊥BC,CF⊥AD, 所以∠AEB=∠AEC=∠CFD=∠AFC=90°. 在△ABE和△CDF中, ∠B=∠D,∠AEB=∠CFD, AB=C