第一章 小专题集训一　特殊平行四边形中的折叠、最值、动点问题-2021-2022学年九年级上册初三数学【导与练】初中同步学习（北师大版）

小专题集训一　特殊平行四 边形中的折叠、最值、动点问题 类型一 1.D　2.B　 3.　解析:因为四边形AECF为菱形, 所以∠FCO=∠ECO,AE=CE. 由折叠的性质可知,∠ECO=∠BCE, CO=CB=AD=AO, 又∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°, 所以∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°. 在Rt△EBC中,EC=2EB, 又CE=AE,AB=AE+EB=3, 所以EB=1,EC=2.所以BC=. 4.(6-2)　解析:设BF=x, 则FG=x,CF=4-x. 在Rt△ADE中,利用勾股定理可得AE=2. 根据折叠的性质可知AG=AB=4, 所以GE=2-4. 在Rt△GEF中,利用勾股定理可得 EF2=(2-4)2+x2. 在Rt△FCE中,利用勾股定理可得 EF2=(4-x)2+22. 所以(2-4)2+x2=(4-x)2+22. 解得x=2-2.则FC=4-x=6-2. 5.略 类型二 6.A　解析:设△ABP中AB边上的高是h. 因为S△PAB=S矩形ABCD, 所以AB·h=AB·AD. 所以h=AD=2. 所以动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上. 如图所示,作A关于直线l的对称点E,连接DE,BE,则BE的长就是所求的最短距离. 在Rt△ABE中, 因为AB=6,AE=2+2=4, 所以BE==2. 即PA+PB的最小值为2.故选A. 7.　解析:如图所示,连接AD, 因为∠BAC=90°,且BA=3,AC=4, 所以BC==5. 因为DM⊥AB,DN⊥AC, 所以∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°. 所以四边形DMAN是矩形. 所以MN=AD.所以当AD⊥BC时,AD的值最小,此时,S△ABC=AB·AC=BC·AD. 所以AD==. 所以MN的最小值为. 8.略 类型三 9.D　解析:连接DE, 因为S△CDE=S四边形CEGF, S△CDE=S正方形ABCD, 所以矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等.故选D. 10.略　11.略 $小专题集训一　特殊平行四边形中的折叠、最值、动点问题 折叠问题 1.如图所示,将矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点E处,BE交AD于点F,已知∠BDC=62°,则∠DFE的度数为(　D　) 第1题图 A.31° B.28° C.62° D.56° 2.如图所示,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处,若∠EAC=∠ECA,则AC的长是(　B　) A.3 B.6 C.4 D.5 第2题图 3.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为　　.  4.如图所示,在正方形纸片ABCD中,E是CD的中点,将正方形纸片折叠,点B落在线段AE上的点G处,折痕为AF.若AD=4 cm,则CF的长为　(6-2)　 cm.  5.如图所示,现有一张边长为4的正方形纸片ABCD,点P为正方形AD边上的一点(不与点A,点D重合),将正方形纸片折叠,使点B落在P处,点C落在G处,PG交DC于H,折痕为EF,连接BP,BH. (1)求证:∠APB=∠BPH; (2)当点P在边AD上移动时,△PDH的周长是否发生变化?并证明你的结论. (1)证明:因为PE=BE, 所以∠EBP=∠EPB. 又因为∠EPH=∠EBC=90°, 所以∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP. 即∠PBC=∠BPH. 又因为AD∥BC, 所以∠APB=∠PBC. 所以∠APB=∠BPH. (2)解:△PHD的周长不变为定值8.证明如下: 如图所示,过B作BQ⊥PH,垂足为Q. 由(1)知∠APB=∠BPH, 又因为∠A=∠BQP=90°,BP=BP, 所以△ABP≌△QBP(AAS). 所以AP=QP,AB=BQ. 又因为AB=BC,所以BC=BQ. 又因为∠C=∠BQH=90°,BH=BH, 所以△BCH≌△BQH(HL). 所以CH=QH. 所以△PHD的周长为PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8. 最小值问题 6.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,动点P满足S△PAB=S矩形ABCD,则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为(　A　) 第6题图 A.2 B.2 C.2 D. 7.如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,且BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN的最小值为　　.  第7题图 8.如图所示,以边长为2的正方形的中心O为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于A,B两点,求线段AB的最小值. 解:因为四边形CDEF是正方形, 所以