山东省济南市历城第二中学2021-2022学年高三上学期开学考试数学试卷

高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．已知 ，则 A. B. C. D. 3.若 ，则向量 与 的夹角为 A. B. C. D． 4．某校甲、乙、丙、丁四位同学报名参加A，B，C三所高校的强基计划考试，每所高校报 名人数不限，因为三所高校的考试时间相同，所以甲、乙、丙、丁只能随机各自报考其 中一所高校，则恰有两人报考同一所高校的报名种数为 A． B． C． D． 5．等比数列 中， ， ，则 A. B. C. D. 6．在三棱锥 中，已知 平面 ， ， ，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 A. B. C. D. 7.统计学家克利夫兰对人体的眼睛详细研究后发现：我们的眼睛看到图形面积的大小与此图形实际面积的0.7次方成正比.例如：大图形是小图形的3倍，眼睛感觉到的只有 (约2.16)倍.观察某个国家地图，感觉全国面积约为某县面积的10倍，那么这国家的实际面积大约是该县面积的 A.18倍 B.21倍 C.24倍 D.27倍 8．已知过抛物线 ： 的焦点 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点， 为 的中点， 为 上一点，则 的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知 ， ，下列不等式恒成立的有 A． B． C． D． 10．函数 ，则下列说法正确的是 A．若 ，则 B．函数 在 上为增函数 C．函数 的图象关于点 对称 D．函数 的图象可以由 的图象向左平移 个单位长度得到 11.在如图所示的棱长为1的正方体 中，点 在侧面 所在的平面上运动，则下列命题中正确的为 A．若点 总满足 ，则动点 的轨迹是一条直线 B．若点 到点A的距离为 ，则动点 的轨迹是一个周长为 的圆 C．若点 到直线 的距离与到点 的距离之和为1，则动点 的轨迹是椭圆 D．若点 到直线 与直线 的距离相等，则动点 的轨迹是双曲线 12．数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为 的小圆在一个半径为 的大圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线．如图，已知星形线 的方程为 ，周长为 ．下列结论中正确的是 A.曲线 ： 的周长大于星形线的周长； B.曲线 上任意两点距离的最大值为 ； C.曲线 与圆 有且仅有 个公共点； D.从曲线 上任一点作 ， 轴的垂线，垂线与 ， 轴所围成图形的面积最大值为 ． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13． 已知直线 和圆 相切，则实数 ___________． 14．已知函数 是偶函数，则 ______ ． 15． 袋中有4个红球 个黄球， 个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为 ，若取出的两个球都是红球的概率为 ，一红一黄的概率为 ，则 ___________． 16.已知点 为双曲线 右支上一点，点 ， 分别为双曲线的左右焦点，点 是△ 的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有 成立，则双曲线的离心率取值范围是________． 四、解答题:本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分) 某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码（ ） 1 2 3 4 5 新建社区养老机构（ ） 12 15 20 25 28 （1）根据上表数据可知， 与 之间存在线性相关关系，用最小二乘法求 关于 的经验回归方程 ； （2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄 近似服从正态分布 ，其中年龄 的