例谈“设而不求”的解题策略-2021年高中数学教学论文

例谈“设而不求”的解题策略 设而不求是整体处理变量的策略，是通过设点的坐标等形式，充分利用这些点的坐标之间的等量关系和限制条件，整体或小范围地整体处理，不必解出所设点的具体坐标而使问题获得解决的方法. 一、应用“根与系数的关系”设而不求，讨论直线与圆锥曲线的位置关系 例1.已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（ ） A．16 B．14 C．12 D．10 【解析】由题意可得两条直线的斜率一定存在且不为0，分别假设为k和， 故而可得， 联立， 假设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故而根据韦达定理可得， 此时，同理可得， 故而 当且仅当时取等号,故选A. 【点拨】直线(曲线）与圆锥曲线相交问题一般先联立消去y，整理得方程ax2+bx+c=0，a≠0，Δ>0，设出交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由韦达定理x1+x2=，x1x2=的系数关系,将已知条件坐标化，求出参数或通过整体消参求值. 【变式训练1】在平面直角坐标系xoy中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于A,B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 . 【解析】如图，设A(x1，y1)，B( x2，y2 )，|AF|+|BF|=4|OF|， 所以 由联立得， 因为 所以双曲线的渐近线方程为. 例2.已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过点(0，)，离心率为，左右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)． (1)求椭圆的方程； (2)若直线 l：y＝－x＋m与椭圆交于 A，B两点，与以F1F2 为直径的圆交于C，D 两点，且满足＝ ，求直线l 的方程． 解析：(1)由题设知解得a＝2，b＝，c＝1， ∴椭圆的方程为＋＝1. (2)由题设，以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1， ∴圆心到直线l的距离d＝，由d＜1得|m|＜.(*) ∴|CD|＝2＝2 ＝ . 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－mx＋m2－3＝0， 由根与系数的关系可得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3. ∴|AB|＝ ＝ . 由＝得 ＝1，解得m＝±，满足(*)． ∴直线l的方程为y＝－x＋或y＝－x－. 【点拨】涉及弦长问题，一般利用根与系数的关系，应用设而不求法计算弦长，斜率为k的直