3.3 幂函数-2021-2022学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版(课时作业)

1．函数f(x)＝x3的图象 A．关于直线y＝x对称　　 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．关于y轴对称 解析　∵f(x)＝x3是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称． 答案　C 2．若幂函数f(x)的图象经过点等于，则f A．4　　　 B．2　　　　 C.　　　　 D. 解析　设f(x)＝xα，则＝2α，∴α＝－2. ∴f(x)＝x－2.∴f－2＝22＝4.＝ 答案　A 3．(多选)已知幂函数f(x)的图象经过点，则幂函数f(x)具有的性质是 A．在其定义域上为增函数 B．在(0，＋∞)上单调递减 C．奇函数 D．定义域为R 解析　设幂函数f(x)＝xα(α为常数)， 因为幂函数图象过点， 所以f(x)＝x－， 所以由f(x)的性质知，定义域为{x∈R，x≠0}， f(x)是奇函数，在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减． 答案　BC 4．下列幂函数中是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的是________(填序号)． ①y＝x2；②y＝x；③；④y＝x3；⑤y＝x－1. 解析　由奇偶性的定义知y＝x2为偶函数，＝既不是奇函数也不是偶函数．由幂函数的单调性知y＝x－1在(0，＋∞)上单调递减，易知②④满足题意． 答案　②④ 5．幂函数y＝x－1在[－4，－2]上的最小值为________． 解析　∵y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上的最小值是－. 答案　－ 6．比较下列各题中两个幂的值的大小： 7．如图所示，曲线C1与C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是 A．n<m<0 B．m<n<0 C．n>m>0 D．m>n>0 解析　由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.由曲线C1，C2的图象可知n<m. 答案　A 8．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于 A．0 B．1 C．2 D．3 解析　∵幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m＜.又∵m∈N，∴m＝0,1. ∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数． 当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数； 当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数． ∴m＝1. 答案　B 9．函数为幂函数，则该函数为________(填序号)． ①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数． 解析　由为幂函数，得m－1＝1，即m＝2，则该函数为y＝x2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数． 答案　② 10．若，则实数m的取值范围为________． 解析　考查幂函数，因为在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以 解得－1≤m＜. 故m的取值范围为. 答案　 11．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数是减函数，求满足<的a的取值范围． 解析　∵函数y＝x3m－9在(0，＋∞)上单调递减， ∴3m－9<0，解得m<3. 又m∈N*，∴m＝1,2. 又函数图象关于y轴对称， ∴3m－9为偶数．故m＝1. ∴有. 又∵在(－∞，0)，(0，＋∞)上均递减， ∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a 或a＋1<0<3－2a. 解得或a<－1.<a< 故a的取值范围为∪(－∞，－1)． 12．已知幂函数在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－k. (1)求m的值； (2)当x∈[1,2]时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，若A∪B＝A，求实数k的取值范围． 解析　(1)依题意，得(m－1)2＝1， 解得m＝0或m＝2. 当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减， 与题设矛盾，舍去，∴m＝0. (2)由(1)可知f(x)＝x2， 当x∈[1,2]时，f(x)，g(x)单调递增， ∴A＝[1,4]，B＝[2－k,4－k]． ∵A∪B＝A，∴B⊆A， ∴∴0≤k≤1. ∴实数k的取值范围是[0,1]． $