1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-2021-2022学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版(课时作业)

1．命题“正方形都是菱形”的否定是 A．任意一个正方形，它是菱形 B．任意一个正方形，它不是菱形 C．存在一个正方形，它不是菱形 D．存在一个正方形，它是菱形 解析　全称命题的否定为存在量词命题．故答案为C. 答案　C 2．命题“∃x＞0,2x2＝5x－1”的否定是 A．∀x＞0,2x2≠5x－1 B．∀x≤0,2x2＝5x－1 C．∃x＞0,2x2≠5x－1 D．∃x≤0,2x2＝5x－1 解析　存在量词命题的否定是全称量词命题． 答案　A 3．(多选)下列四个命题，真命题有 A．有些不相似的三角形面积相等 B．∃x∈Q，x2＝2 C．∃x∈R，x2＋1＝0 D．有一个实数的倒数是它本身 解析　只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似，∴A为真命题．当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴B为假命题．对∀x∈R，x2＋1≠0，∴C为假命题．D中1的倒数是它本身，∴D为真命题．故选A、D. 答案　AD 4．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：________. 解析　命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定． 答案　所有的三角形都不是直角三角形 5．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________． 解析　原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，既要改量词又要否定结论，所以其否定为：存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0. 答案　存在一个x∈R，使得x2－2x＋4＞0 6．写出下列命题的否定，并判断它们的真假． (1)∀x∈R，x2>0； (2)∃x∈R，x2＝1； (3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根； (4)等腰梯形的对角线垂直． 解析　(1)命题的否定：∃x∈R，使x2≤0， 因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真． (2)命题的否定：∀x∈R，使x2≠1， 因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假． (3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假． (4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题． 7．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是 A．命题¬p是真命题 B．命题p是存在量词命题 C．命题p是全称量词命题 D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题 解析　命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故¬p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C. 答案　C 8．已知命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是 A．a＜0　　　　　　　 B．0≤a≤4 C．a≥4 D．0＜a＜4 解析　∵命题“∃x∈R，使4x2＋(a－2)x＋＜0，即Δ＝(a－2)2＜4，则－2＜a－2＜2，即0＜a＜4，故选D.＞0”是真命题，即判别式Δ＝(a－2)2－4×4×≤0”是假命题，∴命题“∀x∈R，使4x2＋(a－2)x＋ 答案　D 9．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题¬p是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析　∵命题¬p是假命题，∴p是真命题， 即存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题， ∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1. 答案　{a|a≤1} 10．已知命题p：存在x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析　命题的否定：任意x∈R，x2＋2ax＋a＞0为真命题，∴Δ＝4a2－4a＜0，∴0＜a＜1. 答案　0＜a＜1 11．已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数a的取值范围． 解析　因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”， 由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题． 事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立； 当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0， 即－3≤a<0. 综上知，实数a的取值范围是－3≤a≤0. 12．若命题p：“任意x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1”是真命题，求实数a的取值范围． 解析　依题意，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立， 即(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0恒成立，所以有 ⇔⇔a≥2. $