2.3 函数的单调性和最值-2021-2022学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】北师大版（课后案）

1．(多选题)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中正确的是 A.＞0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 C．若x1＜x2，则f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b) D.＞0 解析　因为f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2与f(x1)－f(x2)的符号相同，故A，B，D都正确，而C中应为若x1＜x2，则f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)．故C错误． 答案　ABD 2．(2020·新高考全国卷Ⅰ)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是 A．[－1,1]∪[3，＋∞)　　　 B．[－3，－1]∪[0,1] C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3] 解析　首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数f(x)在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果． 因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也是单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0， 所以当x∈(－∞，－2)∪(0,2)时，f(x)＞0， 当x∈(－2,0)∪(2，＋∞)时，f(x)＜0， 所以由xf(x－1)≥0可得 或或x＝0， 解得－1≤x≤0或1≤x≤3， 所以满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1,0]∪[1,3]． 答案　D 3．若函数f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围为 A. B. C. D. 解析　要使f(x)在R上是减函数， 需满足 解得，故选A.≤a＜ 答案　A 4．若函数f(x)＝2x2－mx＋3在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f(1)＝________. 解析　f(x)的图象的对称轴为x＝＝－2， ∴m＝－8. ∴f(x)＝2x2＋8x＋3. ∴f(1)＝2＋8＋3＝13. 答案　13 5．函数y＝|x2－2x－3|的单调增区间是_________________________________________． 解析　 y＝|x2－2x－3| ＝|(x－1)2－4|， 作出该函数的图象(如图)． 由图象可知， 其增区间为[－1,1]和[3，＋∞)． 答案　[－1,1]和[3，＋∞) 6．已知函数f(x)＝，x∈[3,7]． (1)判断函数f(x)的单调性，并用定义加以证明； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 解析　(1)函数f(x)在区间[3,7]内单调递减，证明如下： 在[3,7]上任意取两个数x1和x2，且设x1＞x2， ∵f(x1)＝，，f(x2)＝ ∴f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. ∵x1，x2∈[3,7]，x1＞x2， ∴x1－2＞0，x2－2＞0，x2－x1＜0， ∴f(x1)－f(x2)＝＜0. 即f(x1)＜f(x2)，由单调函数的定义可知，函数f(x)为[3,7]上的减函数． (2)由单调函数的定义可得 f(x)max＝f(3)＝4，f(x)min＝f(7)＝. 7．已知f(x)是定义在(－∞，0]上的增函数，且f(－2)＝3，则满足f(2x－3)＜3的x的取值范围是 A. B. C. D. 解析　由题意，f(2x－3)＜f(－2)， 因为f(x)在(－∞，0]上是增函数， 则.解得x＜ 答案　A 8．(多选题)下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是 A．y＝|x|＋1 B．y＝－ C．y＝x＋ D．y＝x|x| 解析　在A中，当x＜0时，y＝|x|＋1＝－x＋1在(－∞，0)上为减函数；在B中，当x＜0时，y＝－＝x－1在(－∞，0)上是增函数；在D中，当x＜0时，y＝|x|x＝－x2在(－∞，0)上为增函数．故选BCD.＝x在(－∞，0)上是增函数；在C中，当x＜0时，y＝x＋ 答案　BCD 9．函数f(x)＝，则b＝________.在[1，b](b＞1)上的最小值是 解析　因为f(x)在[1，b]上单调递减， 所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝，＝ 所以b＝4. 答案　4 10．函数f(x)＝(t＞0)是区间(0，＋∞)上的增函数，则t的取值范围是________． 解析　函数f(x)＝(t＞0)是区间(0，＋∞)上的增函数，则由图可得，t≥1.(t＞0)的图象如下图．由题意知，函数f(x)＝ 答案　[1，＋∞) 11．已知f(x)＝(x≠a)． (1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围． 解析　(1