专题七 平行线的证明-2021-2022学年八年级数学上册专题分类考点培优（北师大版）

八年级北师大版上册第 章培优专题 一、命题与定理 二、平行线的判定与性质 三、三角形的内角和与外角和 一、命题与定理 1．下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；④垂线段最短．其中（ ） A．①④是真命题 B．①③是真命题 C．②③是真命题 D．①②④是真命题 【答案】A 【分析】 根据垂线段，平行线的判定和性质判断即可； 【详解】 解：①同旁内角互补，两直线平行；该命题正确，②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；该命题不正确，应改为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③同位角相等；该命题不正确，应改为：两直线平行，同位角相等；④垂线段最短；该命题正确； 故选择：A 【点睛】 本题考查了命题与定理：判定事物真假的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题叫定理． 2．写出“相等的角是内错角”这个命题的逆命题，并判断原命题和逆命题是不是互逆定理． 【答案】“相等的角是内错角”的逆命题为“内错角相等”．原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【分析】 根据逆命题的定义：把原命题的结论作为条件，把原命题的条件作为结论，所组成的命题是原命题的逆命题；如果一个定理的逆命题也是真命题，那么这个逆命题也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，进行求解即可． 【详解】 解：“相等的角是内错角”这个命题的逆命题是：“内错角相等”．原命题：相等的角不一定是内错角，是假命题；内错角也不一定是相等的，也是假命题；原命题与逆命题都是假命题，所以不是互逆定理． 【点睛】 本题主要考查了逆命题与互逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 二、平行线的判定与性质 3．已知：如图，，、分别平分与，且．求证：． 证明：， ．（ ） 又∵、分别平分与， ，．（ ） ∵∠______＝∠______．（ ） ∵，（ ） ∴∠2＝______．（等量代换） ∴______//______．（ ） 【答案】等式的性质；角平分线的定义；1；2；等量代换；已知；3； ； ；内错角相等，两直线平行 【分析】 由，、分别平分与，可得∠1＝∠2，又由，得到，从而得到． 【详解】 证明：， ，（ 等式的性质 ） 又∵、分别平分与， ，，（角平分线的定义 ） ∵∠1＝∠2，（ 等量代换 ） ∵，（ 已知 ） ∴（等量代换） ∴ ．（内错角相等，两直线平行 ） 【点睛】 本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 4．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．求证：AB∥DC，请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由． 证明： ∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（　 　）． ∵∠ABC＝∠ADC（　 　）， ∴∠　 　＝∠　 　（等量代换）． ∵∠1＝∠3（　 　）， ∴∠2＝∠　 　（　 　）． ∴AB∥DC（　 　）． 【答案】角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行． 【分析】 根据题目中的证明过程，可以写出相应的推理依据，本题得以解决． 【详解】 证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）， ∴∠1＝∠ABC，∠2＝∠ADC（角平分线的定义）， ∵∠ABC＝∠ADC（已知）， ∴∠1＝∠2（等量代换）， ∵∠1＝∠3（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行． 【点睛】 本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 5．如图,观察图1,已知AB∥ED,现在我们尝试确定∠B、∠C、∠D的关系,我们可以通过构造平行线的方法,过点C作射线CP,使得CP∥AB，通过推理证明可以得到∠B、∠C、∠D具有这样的关系：∠B+∠D=∠C． 现在,请你观察图2、图3、图4,试确定∠B、∠C、∠D的关系(只写结果,不用写过程) (1)在图2中，∠B、∠C、∠D的关系是：___. (2)在图3中，∠B．∠C、∠D的关系是___. (3)在图4中，∠B、∠C、∠D的关系是：___. 【答案】（1）∠B+∠BCD+∠D=360°；（2）∠B=∠C+∠D；（3）∠CDE=∠C+∠B. 【分析】 （1）如图2中，结论：∠B+∠BCD+∠D=360°．根据平行线性质即可解决问题． （2）（3）利用平行线的性质以及三角形