第4练 圆周角(拔尖练习)-【多维练】2021-2022学年九年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)

第4练 圆周角(拔尖练习) 1．如图，已知AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°，则∠CAD的度数为（　　） A．68° B．88° C．90° D．112° 【分析】由AB＝AC＝AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC，继而可得∠CAD＝2∠BAC． 【详解】解：∵AB＝AC＝AD， ∴B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上， ∴∠CAD＝2∠CBD，∠BAC＝2∠BDC， ∵∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝44°， ∴∠CAD＝2∠BAC＝88°． 故选：B． 2．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D．4﹣3 【分析】如图，连接CD．首先证明∠BDC＝135°，由此推出点D在以O为圆心，OB为半径的上运动（△BOC是等腰直角三角形，∠BOC＝90°，OB＝OC＝4），连接OA交于D′，此时AD′的值最小． 【详解】解：连接CD，则∠PDC＝∠PAC＝∠ACB＝45°，∠BDC＝135° ∵BC＝4， ∴点D在以BC为弦的一段圆弧上运动，圆心角为90°， 设圆心为O，连接BO、CO、DO， 则△BCO为等腰直角三角形， ∴CO＝4，∠BCO＝45°， ∵∠ACB＝45°， ∴∠ACO＝90°， ∴AO＝＝＝5， ∴AD≥AO﹣DO＝5﹣4＝1（当且仅当D是AF与圆弧的交点时取等号）， ∴线段AD的长的最小值为1， 故选：A 故选：A． 3．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝3，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值是　3﹣3　． 【分析】先证明∠APB＝90°，则可判断点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点O，连接OC交⊙O于P′，如图，利用两点之间线段最短可判断此时PC的值最小，然后求出CP′即可． 【详解】解：∵∠PBA+∠PBC＝90 而∠PAB＝∠PBC， ∴∠PBA+∠PAB＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴点P在以AB为直径的圆上， 取AB的中点O，连接OC交⊙O于P′，如图， ∵AB＝6，BC＝3， ∴OP′＝3，OC＝＝3， ∴CP′＝3﹣3， ∴线段CP长的最小值是3﹣3． 故答案为：3﹣3． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，点D在BC上，且CD＝2，点P是线段AC上一个动点，以PD为直径作⊙O，点Q为直径PD上方半圆的中点，连接AQ，则AQ的最小值为　4　． 【分析】如图，连接OQ，CQ，过点A作AT⊥CQ交CQ的延长线于T．证明∠ACT＝45°，求出AT即可解决问题． 【详解】解：如图，连接OQ，CQ，过点A作AT⊥CQ交CQ的延长线于T． ∵＝， ∴OQ⊥PD， ∴∠QOD＝90°， ∴∠QCD＝∠QOD＝45°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACT＝45°， ∵AT⊥CT， ∴∠ATC＝90°， ∵AC＝8， ∴AT＝AC•sin45°＝4， ∵AQ≥AT， ∴AQ≥4， ∴AQ的最小值为4， 故答案为4． 5．问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离． （1）探究： 如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A，B重合），连接PC，OC．试证明：PA＜PC． （2）直接运用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是 　﹣1　． （3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值． 解：由折叠知A′M＝AM，又M是AD的中点，可得MA＝MA′＝MD，故点A′在以AD为直径的圆上．（请继续完成解题过程） （4）综合应用：（下面两小题请选择其中一道完成） ①如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 　﹣1　． ②如图6，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于 　﹣3　． 【分析】（1）利用三角形三边关系结合圆的性质得出答案； （2）直接利用勾股定理得出AO长，进而得出答案； （3）利用已知点A′在以AD为直径的圆上，得出当点A′在BM上时，A′B长度取得最小值，进而得出BM的长，即可