3.2.2 第一课时 函数的奇偶性-2021-2022学年高一数学上学期同步课件+检测卷(人教A版2019必修第一册)

3.2.2 函数的奇 偶 性 问题1. 观察下面两个图象. 有什么共同特征? 关于y轴对称 x y o 1 -1 2 -2 2 3 1 3 -3 f(x)=x2 x y o 1 -1 2 -2 2 3 1 3 -3 f(x)=|x| 9 4 1 0 1 4 9 3 2 1 0 1 2 3 具备这样特征的函数，我们称为偶函数. 我们能否类比研究函数单调性，用符号语言 表述“函数关于y轴对称”这一特征呢？ 如: 问题 1中, f(x)=x2, f(-x)=(-x)2 =x2, 得 f(-x)=f(x), ∴ f(x)=x2是偶函数. 同样, f(x)=|x|, f(-x)=|-x| =|x|, 得 f(-x) = f(x), ∴ g(x)=|x|也是偶函数. 问题2. 刚才两个图象关于y轴对称，那以下两个 函数图象有什么共同特征吗? 关于原点对称 x y o 1 -1 3 -3 1 3 -3 f(x)=x x y o 1 -1 3 -3 1 3 -3 类比偶函数的定义，大家能否用符号语言严谨地 表述“函数图象关于原点对称”这一特征呢？ 奇函数，偶函数的定义域必须关于原点对称 例1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3＋x; (2)f(x)＝ eq \r(1－x2) ＋ eq \r(x2－1) ； (3)f(x)＝ eq \f(2x2＋2x,x＋1) ； (4)f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x＞0，,0，x＝0，,x－1，x＜0.)) 奇函数与偶函数的相同点与不同点有那些？ 相同点： （1）定义域关于原点对称； （2）都是函数的整体性质. 奇函数与偶函数的相同点与不同点有那些？ 不同点： （1）当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等， 而奇函数的函数值是一对相反数； （2）偶函数的图象关于y轴对称，而奇函数的图象关于 原点对称. 解　(1)函数的定义域为R，关于原点对称． 又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函数f(x)是奇函数． (2)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0，)) 得x2＝1，即x＝±1.因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(1)＝f(