必考点03 图形的相似-【对点变式题】2021-2022学年九年级数学上学期期中期末必考题精准练（北师大版）

必考点03 图形的相似 题型一、A字型 1.已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA． （1）求证：EF∥BD； （2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA． 【解析】证明：（1）∵DE∥AB，∴， ∵CD2＝CF•CA．∴，∴，∴EF∥BD； （2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD， ∵AC•CF＝BC•CE，∴，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠DBE＝∠A， ∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A， ∴△BAD∽△DBE，∴，∴BD2＝BA•DE 题型二、X字型 X字型（平行） 反X字型（不平行） 2.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝3，DE＝5，BD＝4，则DC的长等于　　． 【答案】CD 【解析】∵∠ADC＝∠BDE，∠C＝∠E，∴△ADC∽△BDE，∴， ∵AD＝3，DE＝5，BD＝4，∴，∴CD 故答案为：CD 题型三、AX字型 3.如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有___________对． 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD ∴（1）△ABD∽△CDB；（2）△ABE∽△FDE；（3）△AED∽△GEB； （4） △ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形.∴图形中一共有6对相似三角形. 题型四、子母型 已知：∠ 1=∠2；结论：△ACD ∽△ABC 4.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B，如果△ABD的面积为15．那么△ACD的面积为 ． 【答案】5 【解析】∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD ∽△BCA．∵AB=4，AD=2， ∴，∴，∵S△ABD=15，∴S△ACD=5 故答案为：5 题型五、一线三垂直型 5.如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【解析】∵在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，DE⊥BC， ∴∠A＝∠EBD＝∠CDE，∴△ADB∽△BED∽△DEC∽△BDC∽△ABC，∴共有四个三角形与Rt△ABC相似． 故选：A． 题型六、作平行或者垂直证明相似 6.如图，AD是△ABC的中线，E是AD上一点，AE：AD＝1：3，CE的延长线交AB于点F，若AF＝1.5，则AB＝　　． 【答案】7.5 【解析】过D作DM∥CF交AB于M， ∵AD是△ABC的中线，BM＝MF，DM∥CF，∴△AFE∽△AMD，∴，∴AFAM， ∵BM＝MF，∴AFAB， ∵AF＝1.5，∴AB＝5×1.5＝7.5 故答案为：7.5 7.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，直线l1∥l2∥l3，l1与l2之间距离是1，l2与l3之间距离是2，且l1，l2，l3分别经过点A，B，C，则边AC的长为　　． 【答案】 【解析】如图，过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如图． ∵∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，∴tan∠BAC． ∵直线l1∥l2∥l3，∴EF⊥l1，EF⊥l3，∴∠AEB＝∠BFC＝90°． ∵∠ABC＝90°，∴∠EAB＝90°﹣∠ABE＝∠FBC， ∴△BFC∽△AEB，∴． ∵EB＝1，∴FC．在Rt△BFC中，BC． 在Rt△ABC中，sin∠BAC，AC． 故答案为： 题型七、图像问题 8.两个斜边长为2全等的等腰直角三角形按如图所示位置放置，其中一个三角形45°角的顶点与另一个的直角项点A重合．若固定，当另一个三角形绕点A旋转时，它的一条直角边和斜边分别与边交于点E，F，设，，则y关于x的函数图象大致是（ ） A．B．C． D． 【答案】D 【解析】如图， 由题意得∠B=∠C=45°，∠G=∠EAF=45°， ∵∠AFE=∠C+∠CAF=45°+∠CAF，∠CAE=45°+∠CAF，∴∠AFB=∠CAE， ∴△ACE∽△FBA，∴∠AEC=∠BAF，， 又∵△ABC是等腰直角三角形，且BC=2，∴AB=AC=， 又BF=x，CE=y，∴，即xy=2（1＜x＜2）， 故选D． 题型八、三角形相似 9.如图，Rt中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为ts（0≤t＜6