专题15三角函数与解三角形第二缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题15三角函数与解三角形第二缉 1．【2018年贵州预赛】若边长为6的正△ABC的三个顶点到平面α的距离分别为1， 2，3，则△ABC的重心G到平面α的距离为_______． 【答案】 【解析】 （1）当△ABC的三个顶点在平面α的同侧时，由公式求得重心G到平面α的距离为2． （2）当△ABC的三个顶点中，其中一点与另两点分别在平面α的异侧时，求得重心G到平面α的距离分别为0，． 故答案为： 2．【2018年贵州预赛】函数的所有零点之和等于________． 【答案】60 【解析】 函数 的零点即为方程2(5－x)sinπx在区间[0，10]上的解函数y=2sinπx的图像与函数的图像在区间[0，10]上的交点的横坐标．因为函数y=2sinπx的图像与函数的图像均关于点(5，0)对称，且在区间[0，10]上共有12个交点（6组对称点)．每组对称点的横坐标之和为10，即这12个点横坐标之和为60． 所以函数y=2(5－x)sinπ－1(0≤x≤10)的所有零点之和等于60． 故答案为：60 3．【2018年浙江预赛】已知，得，所以_____ 【答案】 【解析】 . 4．【2018年浙江预赛】在△ABC中，AB+AC=7,且三角形的面积为4,则sin∠A的最小值为________. 【答案】 【解析】 由, 又时取等号. 5．【2018年浙江预赛】设满足，则x的取值范围为________. 【答案】 【解析】 由. 令， ， 所以. 6．【2018年重庆预赛】在△ABC中，，则________． 【答案】 【解析】 因为 所以 注意到： 故 ． 故答案为： 7．【2018年陕西预赛】设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则________. 【答案】 【解析】 分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C表示∠A与∠B；根据成等差，得到，利用正弦定理实现边角转化。得到关于∠C的等式；由即可得到最后的值。 详解： ; 所以 , 同取正弦值，得 因为成等差，所以 ，由正弦定理，边化角 ，根据倍角公式展开 所以 ，等式两边同时平方得 ，化简 ，即 而 点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌握各个式子的相互转化，属于难题。 8．【2018年陕西预赛】设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则________. 【答案】 【解析】 分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C表示∠A与∠B；根据成等差，得到，利用正弦定理实现边角转化。得到关于∠C的等式；由即可得到最后的值。 详解： ; 所以 , 同取正弦值，得 因为成等差，所以 ，由正弦定理，边化角 ，根据倍角公式展开 所以 ，等式两边同时平方得 ，化简 ，即 而 点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌握各个式子的相互转化，属于难题。 9．【2018年陕西预赛】设的内角所对的边分别为，且成等差数列，则________. 【答案】 【解析】 分析：根据三角形内角和定理及其关系，用∠C表示∠A与∠B；根据成等差，得到，利用正弦定理实现边角转化。得到关于∠C的等式；由即可得到最后的值。 详解： ; 所以 , 同取正弦值，得 因为成等差，所以 ，由正弦定理，边化角 ，根据倍角公式展开 所以 ，等式两边同时平方得 ，化简 ，即 而 点睛：本题考查了三角函数正弦定理的应用，三角函数求值中各个边角转化和角的形式变化，需要熟练掌握各个式子的相互转化，属于难题。 10．【2018年湖南预赛】函数的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 作出其图像，可只有两个交点时k的范围为. 故答案为： 11．【2018年广东预赛】已知△ABC的三个角A、B、C成等差数列，对应的三边为a、b、c，且a、c、成等比数列，则___________. 【答案】 【解析】 因为A、B、C成等差数列，，因此. 又因为a、c、成等比数列，所以. 由正弦定理， 整理得. 所以. 故，所以. 故答案为： 12．【2018年贵州预赛】如图，在△ABD中，点C在AD上，，AB=CD=1．则AC=____． 【答案】 【解析】 在△ABD中，（其中AD=x） ① 在△BCD中， ② 由①②得 ，因为x+2>0，∴x3=2．即． 故答案为： 13．【2018年贵州预赛】函数的所有零点之和等于__________. 【答案】60 【解析】 函数的零点，即为方程在区间上的解.等价于函数的图象与函数的图象，在区间上的交点的横坐标.因为函数的图象与函数的图象，均关于点（5，0）对