[名校联盟]河南省郸城县光明中学九年级数学下册教学课件：第二十八章 锐角三角函数（12份）

问题 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？ 这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管． 分析： 情 境 探 究 A B C 在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于 A B C 50m 30m B ' C ' AB'＝2B ' C ' ＝2×50＝100 在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得 因此 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比 ，你能得出什么结论？ A B C 一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 ，也是一个固定值. 在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值． 探究 A B C A' B' C' 任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？ 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比 叫做∠A的正弦（sine），记住sinA 即 例如，当∠A＝30°时，我们有 当∠A＝45°时，我们有 c a b 对边 斜边 正 弦 函 数 A B C 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 解： （1）在Rt△ABC中， 因此 （2）在Rt△ABC中， 因此 A B C A B C 3 4 13 例 题 示 范 5 求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比 根据下图，求sinA和sinB的值． A B C 3 5 练习 解： （1）在Rt△ABC中， 因此 求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比 $$ 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？ 当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即 把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即 锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 情 境 探 究 探究 A B C 邻边b 对边a 斜边c 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，sinA＝ ，求 cosA、tanB的值． 解：∵ 又 例 题 示 范 A B C 6 1. 分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 练 习 解：由勾股定理 A B C 13 12 2. 在Rt△ABC中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？ 解：设各边长分别为a、b、c，∠A的三个三角函数分别为 则扩大2倍后三边分别为2a、2b、2c A B C A B C 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，tanA＝ ， 求：sinA、cosB的值． A B C 8 解： $$ 设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a 另一条直角边长＝ 30° 60° 45° 45° 活 动 1 两块三角尺中有几个不同的锐角？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值． 30° 设两条直角边长为a，则斜边长＝ 60° 45° 3