第2练 圆的对称性(拔尖练习)-【多维练】2021-2022学年九年级数学上学期多维课时提优＋阶段提优(苏科版)

第2练 圆的对称性(拔尖练习) 1．如图，⊙O中，弦AB⊥CD，垂足为E，F为的中点，连接AF、BF、AC，AF交CD于M，过F作FH⊥AC，垂足为G，以下结论：①＝；②HC＝BF：③MF＝FC：④+＝+，其中成立的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据弧，弦，圆心角之间的关系，圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可． 【解答】解：∵F为的中点， ∴＝，故①正确， ∴∠FCM＝∠FAC， ∵∠FCG＝∠ACM+∠GCM，∠AME＝∠FMC＝∠ACM+∠FAC， ∴∠AME＝∠FMC＝∠FCG＞∠FCM， ∴FC＞FM，故③错误， ∵AB⊥CD，FH⊥AC， ∴∠AEM＝∠CGF＝90°， ∴∠CFH+∠FCG＝90°，∠BAF+∠AME＝90°， ∴∠CFH＝∠BAF， ∴＝， ∴HC＝BF，故②正确， ∵∠AGF＝90°， ∴∠CAF+∠AFH＝90°， ∴的度数+的度数＝180°， ∴的度数+的度数＝180°， ∴+＝+＝+＝+，故④正确， 故选：C． 2．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC＝45°，若PC2+PD2＝8，则⊙O的半径为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【分析】作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD，通过三角形全等得到ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN，由勾股定理即可求出结果． 【解答】解：作CM⊥AB于M，DN⊥AB于N，连接OC，OD， ∴∠NDP＝∠MCP＝∠APC＝45° 又∵OC＝OD， ∴∠ODP＝∠OCP， ∵∠COM＝45°+∠OCD，∠ODN＝45°+∠ODC， ∴∠NDO＝∠COM， 在Rt△ODN与Rt△COM中， ， ∴Rt△ODN≌Rt△COM， ∴ON＝CM＝PM，OM＝ND＝PN 又∵OC2＝CM2+OM2，OD2＝DN2+ON2 ∴OC2＝CM2+PN2，OD2＝DN2+PM2 ∴OC2+OD2＝CM2+PN2+DN2+PM2＝PC2+PD2＝8 ∴OC2＝4， ∴OC＝2， 故选：B． 3．如图：已知⊙O的半径为6，E是⊙O上一个动点，以BE为边按顺时针方向作正方形BEDC，M是弧AB的中点，当E在圆上移动时，MD的最小值是　12﹣6　． 【分析】如图，连接MO，延长MO交⊙O于T，连接BT，OE，BD．利用相似三角形的性质证明TD＝OE＝6，再根据DM≥TM﹣TD，解决问题即可． 【解答】解：如图，连接MO，延长MO交⊙O于T，连接BT，OE，BD． ∵M是弧AB的中点，AB是直径， ∴MT⊥AB， ∵OB＝OT＝6， ∴∠OBT＝∠OTB＝45°， ∴BT＝OB， ∵四边形BCDE是正方形， ∴∠EBD＝∠OBT＝45°，BD＝BE， ∴∠OBE＝∠TBD，＝＝， ∴△TBD∽△OBE， ∴＝＝， ∴TD＝OE＝6， ∵DM≥TM﹣TD， ∴DM≥12﹣6， ∴DM的最小值为12﹣6． 故答案为：12﹣6． 4．如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD，AB，AD的长分别是2m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，圆心角∠COD＝120°．现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示记拱门上的点到地面的最大距离hm，则h的最大值为　（2+）　m． 【分析】利用勾股定理先求出圆弧的半径，然后分析出h取得最大值时为OB与地面垂直时，从而可解． 【解答】解：如图所示，过点O作垂直于地面的直线与拱门外框上沿交于点P，交地面于点Q， 如图1，AB，AD的长分别是2m和4m，圆心角∠COD＝120°， ∴∠DOP＝60°，DC＝AB＝， ∴OD＝2，PQ＝5， 当点P在线段AD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于点D到地面的距离，即点P与点D重合时，此时 h＝＝＝， 如图2所示，当点P在劣弧CD上时，拱门上的点到地面的最大距离h等于⊙O的半径长与圆心O到地面的距离之和， 易知，OQ≤OB， 而h＝OP+OQ＝2+OQ， ∴当点Q与点B重合时，h取得最大值， 由图1可知，OQ＝3，BQ＝，则OB＝， h的最大值为OP+OB，即2+． 故答案为：（2+）． 5．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． （1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程； （3）如图3，PA．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB