专题14三角函数与解三角形第一缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题14三角函数与解三角形第一缉 1．【2021年江西预赛】 中,AB ,且 ,若 ,则 . 【答案】63 【解析】 ， ,但 , 因此 2．【2021年江西预赛】 的值是 . 【答案】4 【解析】 3．【2021年吉林预赛】已知 .则 的值为 . 【答案】 【解析】因为 .所以 . 因为 , 所以 . 所以 . 4．【2021年福建预赛】若 是函数 的一个周期,则正整数 的所有可能取值为 . 【答案】2,10 【解析】由 是函数 的一个周期，得： ， 由于 为正整数吋, ,于是 . 所以， . 于是, 将 逐一代入验证可矢, 所以，正整数 的所有可能取值为2，10. 5．【2021年浙江预赛】计算 . 【答案】 【解析】原式 . 6．【2021年浙江预赛】在 中, 分别在线段AB和AC上, ,直线 于 。现将三角形 沿着AD对折，当平面ADB与平面ADC的二面角为60°时，则线段PQ的长度为 . 【答案】 【解析】依题意可知 ，又 ，所以 ，所以 ，即 , 可得 . 7．【2021年浙江预赛】已知 三个顶点的坐标为 ,过点 的直线分别与线段AC,BC交于P,Q。若 ,则 . 【答案】 【解析】如下图所示, 设 , 易知 , 可得 , 则 , 故得 . 8．【2021年广西预赛】设 ,则 . 【答案】 【解析】 . 故 9．【2021年新疆预赛】 . 【答案】 【解析】 方法一:原式 ； 方法二:原式 . 10．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】设函数,若正实数满足,则的值为 . 【答案】或 【解析】由条件得,所以, 进而得或,相应有或. 于是. 11．【2021年全国高中数学联赛A卷一试】在中,,则的面积为 . 【答案】 【解析】由正弦定理可得：，又， 故：， 即,所以. 记的面积为.注意到,故. 由知,从而 12．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】当时,的取值范围是 . 【答案】 【解析】. 当时,,故的取值范围是 所以的取值范围是 13．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】在中,,则的长为 . 【答案】 【解析】由正弦定理知,故,即,于是 设.由余弦定理知,故. 14．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】在中,,边AC上的中线长为,则的值为 . 【答案】 【解析】记M为AC的中点,由中线长公式得, 可得. 由余弦定理得,所以 . 15．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】在三角形ABC中,BC=4,CA=5,AB=6,则 . 【答案】 【解析】由余弦定理得,所以 . 16．【2020年福建预赛】已知 ，若 ,且 的最小正周期大于 ,则 . 【答案】 【解析】由 ,得 , ① 其中, . 两式相减得 又 的最小正周期大于 ,得 . 则 . 由 ,得 . 从而, . 将 代人式①得 . 结合 ,得 . 17．【2020年广西预赛】设 为锐角,且 .则 . 【答案】 【解析】注意到， . 类似地， . 故 由等号成立,知 . 18．【2020年浙江预赛】设 .则 的最大值为 . 【答案】 【解析】如图3,设 则 . 故 . 因此, . 19．【2020年新疆预赛】 的三边分别为a,b,c,点 为 的外心，已知 ,那么 的取值范园是 . 【答案】 【解析】延长A0交 的外接圆于 ,得到 . 因为 ,所以 ,故 . 故答案为: . 20．【2020年新疆预赛】已知函数 ,若 上有且仅有三个零点，则 . 【答案】 或6 【解析】因为 ,所以 .即 或 ,即 或 ,又因为在 上有且仅有三个零点, ，所以 ,所以 或6. 21．【2019年全国】对任意闭区间I，用表示函数y=sinx在I上的最大值.若正数a满足，则a的值为 . 【答案】或 【解析】由图像分析得或. 22．【2019年江苏预赛】已知中，，则的面积是 . 【答案】. 【解析】由正弦定理，得， 由， 可得， 所以. 即的面积. 另解：由题设知，，作在线段上.则. 设，则， 由余弦定理得. 解得，则， 由此可得，则的面积. 23．【2019年江西预赛】△ABC的三个内角A,B,C满足A=3B=9C,则 . 【答案】 【解析】设,由,得, . 注意括号中的诸角度构成公差为的等差数列两边通乘,得到： . 所以. 24．【2019年内蒙古预赛】已知,则 . 【答案】 【解析】 . 25．【2019年新疆预赛】设且，其中为最简分数，则 . 【答案】44 【解析】注意到，且. 由可得， 即.于是 . 从而. 26．【201