第二章 一元二次函数、方程和不等式 专题4 求含参二次函数的最值-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 专题4 求含参二次函数的最值 求二次函数的最值，可判断二次函数图象的开口方向与对称轴，进而判断函数在给定区间上的单调性，当对称轴与区间位置不确定时，要分类讨论，根据函数的单调性求出函数的最值。 从近几年高考命题看，考查考查力度与以往基本相同，与之相关的题目，难度不大． 【题型导图】 类型一 “动轴定区间“型”二次函数求最值 例1：（2021·江西高安中学高一月考）已知函数 ， ． （1）当 时，求 的最小值； （2）若 在区间 上的最大值为14，求实数 的值． 【答案】（1） ；（2） ． 【详解】 （1）当 时， ， ， 又因为二次函数开口向上，且对称轴为 ， 所以当 时， ， （2）当 时， 当 时， 综上所述： 【变式1】（2021·全国高一课前预习）已知二次函数 .若当 时， 的最大值为4，求实数 的值. 【答案】 或 . 【详解】 二次函数 的对称轴为直线 ， 当 ，即 时，当 时， 取得最大值4， ，解得 ，满足； 当 ，即 时，当 时， 取得最大值4， ，解得 ，满足. 故:实数 的值为 或 . 【变式2】已知二次函数 的最小值为 ， ． （1）求 的解析式； （2）若 在区间 上不单调，求实数 的取值范围； （3）若 ，试求 的最小值． 【答案】（1） ；（2） ；（3）见解析． 【详解】 解：（1）由已知函数 是二次函数，且 ， ∴函数 图象的对称轴为 ， 又最小值为-1，设 ，又 ，∴ ． ∴ ； （2）由（1）知函数 图象的对称轴为 ，要使 在区间 上不单调， 则 ，所以 ； （3）由（1）知， 图象的对称轴为 ，开口朝上， 若 ，则 在 上是增函数， ； 若 ，即 ，则 在 上是减函数， ； 若 ，即 ，则 ； 综上所述，当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． 【变式3】（2021·浙江高一期末）设函数 ． （1）若 在区间 上的最大值为 ，求 的取值范围； （2）若 在区间 上有零点，求 的最小值． 【答案】（1） ；（2） . 【详解】 （1）二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 . ①当 时，即当 时，函数 在区间 上单调递增，则 ； ②当 时，即当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ， ，所以， ； ③当 时，即当 时，函数 在区间 上单调递减，则 . 综上所述， . 所以，当 在区间 上的最大值为 ，实数 的取值范围是 ； （2）设函数 的两个零点为 、 ，由韦达定理可得 ， 所以， ， 设 ， 由 可得 ，所以， . 此时， ，由 可得 . 所以，当 ， 时， 取最小值 . 【痛点直击】“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 类型二 “定轴动区间“型”二次函数求最值 例2.（2021·广西百色·）已知二次函数 满足 且 （1）求 的解析式； （2）若 ，试求 的最小值. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）设二次函数 的解析式为： ，由 、 列方程组即可求出 得值进而可得 的解析式； （2）由（1）知 ，对称轴为 ，分情况讨论对称轴和区间的关系即可求解. 【详解】 （1）设二次函数 的解析式为： ， 因为 ，且 ，则有 ， 于是二次函数解析式为： （2）由（1）知 ，对称轴为 ， 若 ，则 在 上单调递增，所以 ； 若 ，即 时， 在 上单调递减， 所以 ； 若 ，即 时， 综上， 【变式1】（2021·全国高一课时练习）设 求函数 的最小值 的解析式. 【答案】 【分析】 由题知函数 的对称轴为直线 ，讨论 与 之间的位置关系求函数 的最小值 的解析式. 【详解】 ， ， 函数图像的对称轴为直线 ， ∴当 时，即 时， . 当 ，即 时， 在 上是减函数， ∴ . 当 时， 在 上是增函数， ∴ . 综上： . 【变式2】（2021·全国高一课时练习）已知二次函数 的最小值为 ，且 . （1）求函数 的解析式； （2）求函数 在区间 上的最大值． 【答案】（1） ；（2） . 【详解】 （1）设 ，由于该函数有最小值 ，则 ， 由已知条件可得 ，解得 ，故 ； （2） . ①当 时，函数 在区间 上单调递减，则 ； ②当 时，函数 在区间 上单调递减，在 上单调递增， 所以， . 当 时，因为 ，故当 时， . 当 时，因为 ，故当 时， . 综上所述， . 【变式3】已知函数 的图象过点 ，且满足 ． （1）求函数 的解析式； （2）求函数 在 上的最小值； 【答案】（1） ；（2） 【详解】 （1