专题09 正方形存在性问题-备战2022年中考数学压轴题之二次函数真题模拟题分类汇编（全国通用）

专题09 正方形存在性问题 1．（2021•抚顺）直线与轴相交于点，与轴相交于点，抛物线经过点，，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，于点，轴于点．当时，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，直线与相交于点，点在抛物线上，过作轴，交直线于点．是平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形是正方形时，请直接写出点的坐标． 2．（2021•寻乌县模拟）已知二次函数的图象（记为抛物线顶点为，直线与轴，轴分别交于，． （1）对于抛物线，以下结论正确的是 　　； ①对称轴是：直线；②顶点坐标；③抛物线一定经过两个定点． （2）当时，设的面积为，求与的函数关系式； （3）将二次函数的图象绕点旋转得到二次函数的图象（记为抛物线，顶点为． ①当时，旋转前后的两个二次函数的值都会随的增大而减小，求的取值范围； ②当时，点是抛物线上的一点，点在抛物线上的对应点为，试探究四边形能否为正方形？若能，求出的值，若不能，请说明理由． 3．（2021•梁山县一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，顶点为，，设点是轴的正半轴上一点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围． （3）如图2，是第一象限内抛物线上一点，它到两坐标轴的距离相等，点在抛物线上的对应点，设是上的动点，是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 4．（2021•梁园区一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． （1）求出抛物线解析式； （2）如图1，在轴存在一个动点，当的长有最小值时，求点的坐标； （3）如图2，点为抛物线上一个动点，直线上的有一动点，点为坐标平面上一个动点，若，，，四点构成的四边形为正方形时，请直接写出点的坐标． 5．（2021•厦门模拟）已知抛物线，其中，该抛物线与轴交于点． （1）若点，在该抛物线上，求的值； （2）过点作平行于轴的直线，记抛物线在直线与轴之间的部分（含端点）为图象．点，在直线上，点，在图象上，且在抛物线对称轴的左侧．设点的横坐标为，是否存在以，，，为顶点的四边形是边长为的正方形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2021•北碚区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于、两点，，，其中点是抛物线的顶点，交轴于点． （1）求二次函数解析式； （2）如图1，点是第四象限抛物线上一点，且满足，抛物线交轴于点．为直线下方抛物线上一点，过点作平行线交于点，求最大值； （3）如图2，点是抛物线第三象限上一点（不与点、重合），连接，以为边作正方形，当顶点或恰好落在抛物线对称轴上时，直接写出对应的点的坐标． 7．（2021•渝中区校级二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的左侧），其中，并且抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为直线上方抛物线上一点，过作轴交于点，连接，，，求四边形面积的最值及点的坐标； （3）如图2，将抛物线沿射线方向平移得新抛物线，是否在新抛物线上存在点，在平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形为正方形？若在，直接写出此时新抛物线的顶点坐标，若不存在，请说明理由． 8．（2021•碑林区校级模拟）如图，抛物线经过，，三点，该抛物线的顶点为． （1）求该抛物线的表达式和点的坐标； （2）抛物线与抛物线关于直线对称，是抛物线的、段上的一点，过点作轴的平行线交抛物线与点，点、关于抛物线的对称轴对称点分别为、．试探究是否存在一点，使得四边形为正方形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2021•莲湖区三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）点是直线上方的抛物线上一动点（不与点，重合），连接，以为边作正方形，当顶点或恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的点的坐标． 10．（2021•碑林区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴的一个交点是，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知点是第一象限内一点，且是以为直角边的等腰直角三角形，则点坐标为　　； （3）在直线左侧有一点，将抛物线的图象绕点旋转得到抛物线，其中点、的对应点分别是、，若以、、、为顶点的四边形是正方形，求点的坐标并直接写出抛物线的表达式． 11．（2021•合川区校级模拟）如图，在平面直角坐标系．中，直线与轴交于点，与轴交于点，过，两点的抛物线交轴于另一点． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点是直线下方抛物线上一动点，连接，，求出四边形面积最大值及此时点的坐标． （3）如图2，在