第一章 1.3 集合的基本运算 第二课时-【精彩三年】2021-2022学年高中数学新教材必修第一册课程探究与巩固word版（人教A版 浙江专版）

1．3　集合的基本运算 第2课时　集合的全集、补集 [课程目标] 1.理解全集和补集的含义，会求给定子集的补集；2.能够利用集合的补集的性质解决简单的参数问题． 知识点一　全集 1．定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的__所有元素__，那么就称这个集合为全集． 2．记法：全集通常记作__U__． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)全集一定包括任何一个元素．(　×　) (2)只有实数集R才可以作为全集．(　×　) (3)为了研究集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{1，2，3}，C＝{1，3，5}之间的关系，要从中选一个集合作为全集，这个集合是A.(　√　) 【解析】 (1)全集仅包含我们研究问题所涉及的全部元素，而非任何元素． (2)研究的问题并不一定是实数集，也有可能为整数集、自然数集或有理数集等． (3)根据全集的定义知应选集合A作为全集． 知识点二　补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中__不属于集合A__的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作__∁UA__ 符号语言 ∁UA＝__{x|x∈U，且x∉A}__ 图形语言 　　[研读]∁UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．补集是相对于全集而言的，全集不同，补集也不同，即集合A在不同的全集中所求得的补集是不同的． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)一个集合的补集一定含有元素．(　×　) (2)集合∁AC与集合∁BC相等．(　×　) (3)(∁UA)∪A＝U.(　√　) (4)(∁UA)∩A＝∅.(　√　) (5)∁U∅＝U.(　√　) 【解析】 (1)因为全集的补集是空集，即∁UU＝∅，所以这个说法错误． (2)当A＝B时，二者相等，否则不相等． 根据补集的定义知，(3)(4)(5)中等式成立． 若全集M＝{－1，0，1，2，3}，N＝{x|x2＝1，x∈Z}，则∁MN等于(　B　) A．∅　　　　　　　　B．{0，2，3} C．{－1，1} D．{0，1，2，3} 【解析】 因为M＝{－1，0，1，2，3}，N＝{x|x2＝1，x∈Z}＝{－1，1}，根据补集的定义，得∁MN＝{0，2，3}． 活学活用 已知全集U＝{a，b，c，d，e}，集合A＝{b，c，d}，B＝{c，e}，则(∁UA)∪B等于(　C　) A．{b，c，e} B．{c，d，e} C．{a，c，e} D．{a，c，d，e} 【解析】 由U＝{a，b，c，d，e}，A＝{b，c，d}，得∁UA＝{a，e}，又B＝{c，e}，所以(∁UA)∪B＝{a，c，e}． 若集合S＝，AS，BS，且A∩B＝，(∁SB)∩A＝，(∁SA)∩(∁SB)＝，求集合A和B. 解：由题意利用Venn图可得：A＝，B＝. 活学活用 已知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{4，7，8}，求A∩B，A∪B，∩，A∩，∪B. 解：A∩B＝{4}，A∪B＝{3，4，5，7，8}， 又∁UA＝{1，2，6，7，8}，∁UB＝{1，2，3，5，6}， 所以(∁UA)∩(∁UB)＝{1，2，6}，A∩(∁UB)＝{3，5}， (∁UA)∪B＝{1，2，4，6，7，8}． [规律方法] 解答此类问题的关键在于准确使用Venn图表示集合，并熟悉几种常见运算的对应图形，此外，还要熟悉集合的基本运算． 若全集U＝{2，4，a2－a＋1}，A＝{a＋4，4}，∁UA＝{7}，则实数a＝__－2__． 【解析】 因为∁UA＝{7}，所以7∈U且7∉A，所以a2－a＋1＝7，解得a＝－2或a＝3.当a＝3时，A＝{4，7}，与7∉A矛盾，当a＝－2时满足题意，所以a＝－2. 活学活用 设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝__－3__． 【解析】 因为U＝{0，1，2，3}，∁UA＝{1，2}，所以A＝{0，3}．所以0，3是方程x2＋mx＝0的两根，所以m＝－3. 已知集合A＝{x|x>a2＋1或x<a}，B＝{x|2≤x≤4}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为__{a|－<a<或a>2}__． 解：∵(a2＋1)－a＝＋>0，∴a2＋1>a恒成立．先考虑A∩B＝∅时实数a的取值范围， 由A∩B＝∅可得：⇒⇒a≤－或≤a≤2.所以当A∩B≠∅时，实数a的取值范围为{a|－<a<或a>2}． 活学活用 已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0，x∈R}，B＝{x|x<0，x∈R}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围． 解：设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}， 解得U＝. 若A∩B＝∅，则方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根均非负， 则