第一章 1.2 集合间的基本关系-【精彩三年】2021-2022学年高中数学新教材必修第一册课程探究与巩固word版（人教A版 浙江专版）

1.2　集合间的基本关系 [课程目标] 1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别出集合的子集，在具体情境中，了解空集的含义；2.能使用Venn图表达集合间的关系，体会图形对理解抽象概念的作用． 知识点一　子集、真子集及集合相等的概念 类别 文字语言 图形语言 符号表示 子集 集合A中__任意一个__元素都是集合B中的元素，就称集合__A__为集合__B__的子集 __A⊆B__ 或__B⊇A__ 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 __AB__ 或__BA__ 集合 相等 如果集合A是集合B的__子集__(A⊆B)，且集合B是集合A的__子集__(B⊆A)，则称集合A和集合B相等 __A＝B__ 　　[研读] “A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即有任意x∈A能推出x∈B. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)若a∈A，则{a}⊆A.(　√　) (2)若A⊆B或B⊆A，则A＝B.(　×　) (3)如果集合B⊆A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.(　√　) (4)已知集合M＝{长方形}，N＝{正方形}，则有N⊆M.(　√　) 【解析】 (1)根据子集的含义知，若a∈A，则{a}⊆A. (2)根据集合相等的概念知，当A⊆B且B⊆A时，A＝B. (3)因为B是A的子集，所以不属于A的元素一定不属于B. (4)正方形是长方形的特殊情况，所以N⊆M. 知识点二　空集 定义 我们把__不含任何元素__的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的__子集__，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅ (2)若A≠∅，则∅____A 　　[研读] 不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)空集没有子集．(　×　) (2)空集是任何集合的真子集．(　×　) (3)∅∈{0}．(　×　) (4)集合{x|x<3且x>4}是空集．(　√　) (5)若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集．(　√　) 【解析】 (1)空集的子集是它本身． (2)空集是空集的子集，但不是真子集． (3)∅⊆{0}． (4)集合{x|x<3且x>4}中没有元素． (5)显然集合A中的元素都是集合C中的元素，所以集合A是集合C的子集． (1)在以下写法中，正确的个数为(　B　) ①0＝{0}；②0∈{0}；③0⊆{0}；④0＝∅； ⑤0∈∅； ⑥0⊆∅；⑦∅＝{0} ；⑧∅∈{0}；⑨∅⊆{0}． A．1个　　　　　　B．2个 C．3个 D．4个 (2)用适当的符号填空． ①a__∈__{a，b，c}；　②0__∈__{x|x2＝0}； ③{0，1}____N；　　　　④{0}____{x|x2＝x}； ⑤∅__＝__ {x∈R|x2＋1＝0}； ⑥{2，1}__＝__{x|x2－3x＋2＝0}． [规律方法] 判断集合间关系的常用方法 1．列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． 2．集合元素特征法：首先确定集合的代表元素，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，则集合A，B无包含关系． 3．数形结合法：利用Venn图、数轴和平面直角坐标系等图示形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴． 活学活用 能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　B　) 　 A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 【解析】 解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示． 已知P＝，Q＝{x|x＝4m±1，m∈Z}，求证：P＝Q. 证明：一方面：任取x∈P，则存在m∈Z使得x＝2m＋1， 当m＝2k(k∈Z)时，x＝4k＋1∈Q； 当m＝2k－1(k∈Z)时，x＝4k－1∈Q， 从而x∈Q，所以P⊆Q. 另一方面：任取x∈Q，当x＝4m＋1，m∈Z时， x＝2(2m)＋1∈P； 当x＝4m－1，m∈Z时，x＝2(2m－1)＋1∈P，从而x∈P，所以Q⊆P. 综上可得：P＝Q. 活学活用 设集合M＝，N＝，P＝， 请探求集合M，N，P之间的关系． 解：由x0∈M⇒x0