第一章 1.1 集合的概念-【精彩三年】2021-2022学年高中数学新教材必修第一册课程探究与巩固word版（人教A版 浙江专版）

1．1　集合的概念 [课程目标] 1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号；3.能够选择适当的方法表示集合． 知识点一　集合的定义及元素的特征 1．集合与元素的概念：一般地，我们把研究对象统称为__元素__，把一些元素__组成的总体__叫做集合，简称为__集__． 2．符号表示：集合常用大写字母A，B，C，…表示，元素常用小写字母a，b，c，…表示．a属于集合A，记作__a∈A__，a∉A的意义是__元素a不属于集合A__． 3．常用数集及其记法：自然数集记作__N__；正整数集记作__N*__或__N＋__；整数集记作__Z__；有理数集记作__Q__；实数集记作__R__． 4．集合中元素的三个特性为__确定性__、__互异性__、__无序性__． [研读](1)“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明． (2)集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体． (3)组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)平面上到点O的距离等于1的点的全体可以组成一个集合．(　√　) (2)人教A版高中数学必修第一册课本上所有的难题能够组成一个集合．(　×　) (3)分别由元素0，1，2和2，0，1组成的两个集合是同一个集合．(　√　) (4)某中学2021级高一年级20个班构成一个集合A，则高一(2)班的学生是集合A的元素．(　×　) 【解析】 (1)“平面上到点O的距离等于1的点的全体”是确定的，能够组成集合． (2)“人教A版高中数学必修第一册课本上所有的难题”不是确定的，不能组成集合． (3) 根据集合中元素的无序性知，这两个集合表示同一个集合． (4)因为集合A是由高一年级20个班组成的，所以高一(2)班是集合A中的元素，高一(2)班的学生不是集合A中的元素． 知识点二　集合的表示法 1．列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．基本格式为： {a1，a2，…，an}． 2．描述法：设A是一个集合，我们把集合A中所有具有__共同特征P(x)__的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． [研读]列举法表示集合的三种情况： (1)集合的元素较少，如{1，2，3，4}． (2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到100的所有自然数”可以表示为{1，2，3，4，…，100}． (3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“所有的正偶数”可以表示为{2，4，6，8，…}. 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)方程(x－1)(x＋2)＝0的实数根组成的集合是{－2，1}．(　√　) (2)由直线y＝2x＋4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合是{(x，y)|y＝2x＋4，x∈N}．(　√　) (3)集合{x|3＜x＜8}是有限集．(　×　) (4)集合A＝{x|x2－1＝0}与集合B＝{－1，1}表示同一个集合．(　√　) 教材应用用符号“∈”或“∉”填空： (1)2__∈__R，2__∉__{x|x<}； (2)4__∉__{x|x＝n2＋1，n∈N＋}； (3)(1，1)__∉__{y|y＝2x＋1}， (1，1)__∈__{(x，y)|y＝2x－1}． 【解析】 (1)2∈R，而2＝>，所以2∉{x|x<}． (2)因为n2＋1＝4，所以n＝±∉N＋.所以4∉{x|x＝n2＋1，n∈N＋}． (3)(1，1)是一个有序实数对，在坐标平面上表示一个点，而{y|y＝2x＋1}表示一次函数的函数值构成的集合，故(1，1)∉{y|y＝2x＋1}．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示直线上的点构成的集合(点集)，且满足y＝2x－1，所以(1，1)∈{(x，y)|y＝2x－1}． 活学活用 1．以方程x2－2x－3＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有__3__个元素． 【解析】 因为方程x2－2x－3＝0的解是x1＝－1，x2＝3， 方程x2－x－2＝0的解是x3＝－1，x4＝2， 所以以这两个方程的解为元素的集合中的元素应为－1，2，3，共有3个元素． 2．已知集合M含有两个元素a－3和2a＋1，若－2∈M，则实数a的值是__1或－__． 【解析】 因为－2∈M，所以a－3＝－2或2a＋1＝－2. 若a－3＝－2，则a＝1，此时集合M中含有两个元素－2，3，符合题意； 若2a＋1＝－2，则a＝－，此时