第二章 2.2 基本不等式 第一课时-【精彩三年】2021-2022学年高中数学新教材必修第一册课程探究与巩固word版（人教A版 浙江专版）

2．2　基本不等式 第1课时　利用基本不等式证明不等式 [课程目标] 1.了解基本不等式代数与几何两方面的背景；2.用数形结合思想理解基本不等式，严谨规范表达不等式证明过程；3.从不等式证明过程中体会分析法与综合法的证明思路． 知识点一　重要不等式 如果a，b∈R，那么a2＋b2__≥__2ab(当且仅当a＝b时等号成立). [研读]不等式a2＋b2≥2ab的实质是实数平方的非负性，不等式中a，b的取值既可以是某个具体的数，也可以是一个代数式． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1) ab≤.(　√　) (2)4ab≤a2＋b2＋2ab.(　√　) (3)2(a2＋b2)≥(a＋b)2.(　√　) 【解析】 (1)和(2)可由a2＋b2≥2ab直接变形得到． (3)将a2＋b2≥2ab两边同加a2＋b2，得2(a2＋b2)≥(a＋b)2. 知识点二　基本不等式 如果a>0，b>0，则≤. (1)基本不等式成立的条件是__a>0，b>0__． (2)等号成立的条件：当且仅当__a＝b__时取等号． [研读](1)基本不等式中a>0，b>0. (2)基本不等式只有一种形式，即≤(a>0，b>0)，由该不等式变形而得到的不等式都不叫基本不等式． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)若a>0，b>0，则3a＋2b≤.(　×　) (2)若a≠0，则a＋≥2＝6.(　×　) (3)若a>0，b>0，则ab≤.(　√　) 【解析】 (1)若a>0，b>0，则3a＋2b≥2. (2)只有当a>0时，根据基本不等式，才有不等式a＋≥2＝6成立． (3)因为≤，所以ab≤. 知识点三　算术平均数与几何平均数 (1)设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为____，几何平均数为____． (2)基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． [研读]本节内容涉及的算术平均数与几何平均数的概念是定义在正数范围内的．实际上，对于任意两个实数x，y，是x，y的算术平均数．当a，b异号时，在实数范围内没有意义． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)2和5的算术平均数是3.5，几何平均数是.(　√　) (2)实数a2和b2的几何平均数是ab.(　×　) (3)>.(　×　) 给出下列说法： ①∀a，b∈R，都有－≤ab≤； ②∀a，b∈R，都有4ab≤(a＋b)2≤2； ③不等式＋≥2成立的充要条件是a>0，b>0. 其中说法正确的序号是__①②__． 【解析】 ∀a，b∈R都有⇒ ⇒－≤ab≤，故①正确； 2＝＋≥＋2ab＝(a＋b)2， (a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≥2ab＋2ab＝4ab，故②正确； ＋≥2成立的充要条件是>0，故③错． 教材应用设a>0，b>0，试比较，，，的大小，并说明理由． 解：因为a>0，b>0，所以＋≥， 即≥(当且仅当a＝b时取等号). 又＝≤＝， 所以≤(当且仅当a＝b时取等号). 而≤，故≥≥≥(当且仅当a＝b时取等号). [规律方法] 1．在理解基本不等式时，要从形式到内涵中理解，特别要关注条件． 2．运用基本不等式比较大小时应注意成立的条件，即a＋b≥2成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b. 活学活用 1． 下列不等式中正确的是(　ABCD　) A．＋≥(a>0，b>0) B．＋≥(a>0，b>0) C．(a＋b)≥4(ab>0) D．≥(a，b∈R) 【解析】 因为a>0，b>0，所以＋≥，故A对； ≥⇒＋≥，故B对； 因为ab>0，所以(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，故C对； ＝≥＝(a，b∈R)，故D正确． 2．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　C　) A．ab≤　　　　　B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3 【解析】 因为a＋b＝2，由a2＋b2≥2ab，得2(a2＋b2)≥a2＋2ab＋b2，即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，所以a2＋b2≥2.又因为ab≤＝1，故选C. 已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1.求证：≥8. 证明：因为a，b，c都是正数，a＋b＋c＝1， 所以－1＝＝≥. 同理－1≥，－1≥. 上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得≥··＝8. 当且仅当a＝b＝c＝时，上式等号成立． 【迁移探究1】 在本例条件下，求证：＋＋≥9. 证明：因为a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝1， 所以＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a＝b＝c＝时，上式等号成立． 【迁移探究2】 把本例条件改为“a>0，b>0，a＋b＝1”． 求证：≥9. 证明：证法一：因为a>0，b>0，a＋b＝1， 所以