第二章 2.2 基本不等式 第二课时-【精彩三年】2021-2022学年高中数学新教材必修第一册课程探究与巩固word版（人教A版 浙江专版）

2．2　基本不等式 第2课时　基本不等式的简单应用 [课程目标] 1.进一步了解基本不等式 ≤(a>0，b>0)；2.会用基本不等式解决简单最大(小)值问题；3.会应用基本不等式模型解决一些简单的实际问题． 知识点　基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)若x＋y＝S(和S为定值)，则当x＝y时，积xy取得最__大__值. (2)若xy＝P(积P为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最__小__值2. 记忆口诀：两正数“和为定值积__最大__”，两正数“积为定值和__最小__”． [研读]应用基本不等式求最值时，需注意：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是不是定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是不是定值；(3) 等号成立的条件是否满足． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)两个正数的积为定值，它们的平方和有最小值．(　√　) (2)若a>0，b>0且a＋b＝10，则ab≤25.(　√　) (3)当x>1时，函数y＝x＋≥2，所以函数的最小值是2.(　×　) (4)当a≥2时，a＋的最小值为2.(　×　) 【解析】 (1)由x2＋y2≥2xy知，该说法正确． (2)因为≤＝5，所以ab≤25(当且仅当a＝b＝5时等号成立). (3)当x>1时，x－1>0，则y＝x＋＝(x－1)＋＋1 ≥2＋1＝3.当且仅当x－1＝，即x＝2时，函数取到最小值3. (4)a＋≥2，当且仅当a＝1时取等号，与a≥2矛盾． 教材拓展若0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值是____． 【解析】 因为0<x<，所以1－2x>0， 所以y＝x·(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤＝×＝，当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，y的最大值是. 教材应用已知x>2，则y＝x＋的最小值为__6__． 【解析】 因为x>2，所以x－2>0， 所以y＝x＋＝x－2＋＋2≥2 ＋2＝6， 当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立． 所以y＝x＋的最小值为6. 【迁移探究1】 若把本例中的条件“x>2”改为“x<2”，则y＝x＋的最大值是__－2__． 【解析】 因为x<2，所以2－x>0，所以y＝x＋＝－＋2≤－2＋2＝－2. 又2－x＝，得x＝0或x＝4(舍去). 即当且仅当x＝0时，等号成立．故y＝x＋的最大值为－2. 【迁移探究2】 若把本例中的条件“x>2”去掉，则y＝x＋的取值范围是__y≤－2或y≥6__． 【解析】 当x>2时，y＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4＋2＝6(当且仅当x＝4时取等号). 当x<2时，y＝x＋＝(x－2)＋＋2＝－＋2≤－2＋2＝－4＋2＝－2(当且仅当x＝0时取等号). 即y＝x＋的取值范围是y≤－2或y≥6. [规律方法] 利用基本不等式求函数最值时的配凑技巧． 在利用基本不等式求函数的最值时，有时不一定恰好能用上基本不等式，因此还必须对所给的函数解析式进行变形整理，通过凑项的方法(一般是凑和或积为定值)构造出基本不等式的形式再进行求解． 活学活用 1．已知t＞0，则y＝的最小值为(　B　) 　　　　　　　　　　　　　　 A．－1 B．－2 C．2 D．－5 【解析】 依题意得y＝t＋－4≥2－4＝－2，等号成立时t＝1，即y＝(t>0)的最小值是－2. 2．若x>1，则y＝x＋＋的最小值为__8__． 【解析】 ∵x>1，∴y＝x＋＋＝＋≥2＝8，当且仅当＝，即x＝2＋时等号成立． 设x>0，y>0且＋＝1，则x＋y的最小值是__4__. 【解析】 x＋y＝(x＋y)＝2＋＋≥2＋2＝4. 当＋＝1且＝，即x＝y＝2时，＝4. 【迁移探究1】 设x>0，y>0且x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是__5__． 【解析】 因为x>0，y>0，由x＋3y＝5xy⇒＋＝5， 所以3x＋4y＝＝≥5. 当＋＝5且＝时等号成立，即x＝1，y＝时，＝5. 【迁移探究2】 已知a，b>0，且不等式＋≥恒成立，求m的取值范围． 解：由＋≥⇒≥m对任意a，b>0恒成立． 又＝5＋2≥5＋4＝9， 当且仅当a＝b时等号成立，所以m≤9. [规律方法] 利用基本不等式求最值的方法． (1)消元法．通过代换消去其中一个变量，将其转化为求函数的最大(小)值问题． (2)配凑法．根据已知条件配凑基本不等式所满足的条件． (3)构造法．通过不等式的放缩将所给等量关系变为不等式． 活学活用 1．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为__16__． 【解析】 因为x>0，y>0， 所以x＋y＝(x＋y)·＝10＋＋≥10＋2＝10＋6＝16.当且仅当x＝4，y＝12时等号成立，所以x＋y的最小值为16. 2．设xy≠0且x2＋3y2＝4，则＋的最小值是__4__. 【