第二章 2.1 等式性质与不等式性质-【精彩三年】2021-2022学年高中数学新教材必修第一册课程探究与巩固word版（人教A版 浙江专版）

第二章　一元二次函数、方程和不等式　　 2．1　等式性质与不等式性质 [课程目标] 1.了解等式的性质；2.掌握不等式的基本性质；3.能用不等式的基本性质解决一些简单问题． 知识点一　等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 a＝b⇔b＝a ⇔ 2 传递性 a＝b，b＝c⇒a＝c ⇒ 3 可加、减性 a＝b⇔a±c＝b±c ⇔ 4 可乘性 a＝b⇒ac＝bc ⇒ 5 可除性 a＝b，c≠0⇒＝ ⇒ 　　 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)由3a－2＝2b，得3a＝2b＋2.(　√　) (2)由－1＝2y－3，得x－1＝4y－6.(　×　) (3)由＝，得x－y＝2a＋b.(　×　) (4)x－2＝4x＋7，得x＝－3.(　√　) 知识点二　不等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 a＞b⇔b＜a ⇔ 2 传递性 a＞b，b＞c⇒a＞c ⇒ 3 可加性 a＞b⇔a＋c＞b＋c ⇔ 4 可乘性 a＞b，c＞0⇒ac＞bc a＞b，c＜0⇒ac＜bc c的 符号 5 同向可 加性 a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d 同向 6 同向同 正可乘性 a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd 同向 7 可乘方性 a＞b＞0，那么an>bn(n∈N，n≥2) 同正 　　[研读]将不等式的性质与等式的性质进行比较，可以加深对不等式的理解．性质4、性质6、性质7强调数或式的符号，性质3、性质5表明不等式只能同向相加，不能同向相减． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)若a>b，则ac>bc一定成立．(　×　) (2)若a－c<b－c，则a<b.(　√　) (3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　×　) (4)若a>b，c>d，则>.(　×　) 【解析】 (1)由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立，故此说法是错误的． (2)在不等式a－c<b－c两边同时加上c，可得a<b，所以此说法正确． (3)取a＝4，c＝5，b＝7，d＝1，满足a＋c>b＋d，但不满足a>b，故此说法错误． (4)取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a>b，c>d，但>不成立．所以此说法错误． 教材拓展已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 解：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2 ＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b). 因为a>0，b>0，且a≠b， 所以(a－b)2>0，a＋b>0， 所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0， 即a3＋b3>a2b＋ab2. [规律方法] 作差比较法比较两个数(式)大小的步骤： (1)作差：对要比较大小的两个数(或式)作差． (2)变形：对差进行变形，常见的变形技巧是：因式分解，配方． (3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号． (4)作出结论． 活学活用 设x，y∈R，比较x2＋y2与xy＋x＋y－1的大小． 解：x2＋y2－(xy＋x＋y－1)＝[(x2－2xy＋y2)＋(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)]＝[(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2]≥0， ∴x2＋y2≥xy＋x＋y－1. 已知a>b>c，求证：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2. 证明： (a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2) ＝a2(b－c)－(b2－c2)a＋(b－c)bc ＝(b－c)[a2－(b＋c)a＋bc] ＝(a－b)(b－c)(a－c)>0， 所以a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2. 活学活用 设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小． 解：5x2＋y2＋z2－＝(z2－2z＋1)＋(y2－2xy＋x2)＋(4x2－4x＋1)＝(z－1)2＋(y－x)2＋(2x－1)2≥0， ∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2. 若a，b，c为实数，判断下列命题的真假： (1)若a>b，则ac<bc； (2)若a>b，ab≠0，则<； (3)若a<b<0，则a2>ab>b2； (4)若c>a>b>0，则>. 解：(1)因为c可以是正数、负数或零，不等式两边都乘c，所以ac与bc的大小关系不确定，所以为假命题． (2)当a>0>b时，不等式不成立，所以为假命题． (3)由⇒a2>ab，又⇒ab>b2，所以a2>ab>b2，所以为真命题． (4)因为a>b>0，所以－a<－b，所以c－a<