第一章 高效作业6 1.5.1 全称量词与存在量词-【精彩三年】2021-2022学年高中数学新教材必修第一册课程探究与巩固word版（人教A版 浙江专版）

高效作业6[1.5.1　全称量词与存在量词] [A级　新教材落实与巩固] 一、选择题 1．下列命题中的假命题是(　B　) A．菱形的四条边都相等 B．∀x∈N*，(x－1)2>0 C．存在一个三角形内角，其正弦值为 D．∃x，y∈R，(x－1)2＋(y＋2)2＝0 2．下列四个命题中的真命题为(　A　) A．若两条直线平行，则内错角相等 B．∀x∈R，都有x3＋1>0 C．若x2＝2，则x＝ D．∃x∈Z，使1<4x<3 3．“存在集合A，使∅A”，对这个命题，下面说法正确的是(　C　) A．全称量词命题、真命题 B．全称量词命题、假命题 C．存在量词命题、真命题 D．存在量词命题、假命题 4．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　B　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉P C．∃x∉Q，使得x∈P D．∃x∈P，使得x∉Q 5．给出下列命题： ①存在实数x>－1，使x2>1； ②全等的三角形必相似； ③有些相似三角形全等； ④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数． 其中存在量词命题的个数为(　C　) A．1　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 【解析】 ①③④为存在量词命题，②为全称量词命题，故选C. 6． 下列四个命题中，真命题是(　AD　) A．∀x∈R，2x2－3x＋4≠0 B．∀x∈{1，－1，0}，2x＋1>0 C．∃x∈N，使x2<x D．∃x∈N*，使x为31的约数 【解析】 A选项，因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以方程2x2－3x＋4＝0无实数解，故A为真命题；B选项，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故B为假命题；C选项，当0<x<1时，有x2<x，故C为假命题；D选项，当x＝1时，x为31的约数，所以D为真命题. 二、填空题 7．对任意x>3，有x>a恒成立，则实数a的取值范围是__a≤3__． 8．给出下列四个命题： ①有些梯形的对角线不相等； ②对任意实数x，均有x＋1>x； ③∃x∈R，x2＋2ax＋a2＋1<0； ④有些三角形不是等腰三角形． 其中所有真命题的序号为__①②④__． 【解析】 显然①②④是真命题，而x2＋2ax＋a2＋1＝(x＋a)2＋1≥1，所以③是假命题． 9．下列命题中，全称量词命题是__①②③__；存在量词命题是__④__．(填序号) ①正方形的对角线互相垂直且相等； ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形； ③正数的平方根不等于0； ④至少有一个正整数是偶数． 【解析】 根据全称量词命题和存在量词命题的概念判断． 10．若不等式a＋2≥x2对任意x∈{x|－1≤x≤3}恒成立，求实数a的取值范围． 解：当－1≤x≤3时，x2取得最大值9，因为不等式a＋2≥x2对任意x∈{x|－1≤x≤3}恒成立，所以a＋2≥9，得a≥7. [B级　素养养成与评价] 11．下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是(　D　) A．所有能被2整除的数都是偶数 B．存在一个三角形内角x，cos x＝ C．∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解 D．∀x∈N，x3>x2 12．命题p：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，x≥m”是真命题，则下列命题中真命题的个数是(　B　) ①一次函数y＝x＋m的图象经过第一、三、四象限； ②二次函数y＝mx2＋x－2的图象开口向下； ③∃x0∈{x|－1≤x≤1}，x0＋m>0； ④∀x∈R，(m2－1)x2>0. A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 由命题p：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，x≥m”是真命题，得m≤－1，所以①②是真命题，③④是假命题．所以真命题的个数是2. 13．有下列命题： ①存在x<0，使|x|>x； ②对于一切x<0，都有|x|>x； ③已知x＝2n，y＝3n，对于任意n∈N*，都有x≠y； ④已知A＝{x|x＝2n}，B＝{y|y＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅. 其中所有真命题的序号为__①②③__. 【解析】 命题①②显然为真命题；对于命题③，因为y－x＝3n－2n＝n>0，所以x≠y，故为真命题；对于命题④，已知A＝{x|x＝2n}，B＝{y|y＝3n}，所以6∈A，6∈B，所以A∩B＝{6}，故为假命题． 14．已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由； (2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围． 解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4. (2)不等式m－f(