第一章 1.5 全称量词与存在量词 第一课时-【精彩三年】2021-2022学年高中数学新教材必修第一册课程探究与巩固word版（人教A版 浙江专版）

1．5　全称量词与存在量词 1．5.1　全称量词与存在量词 [课程目标] 1.理解全称量词、全称量词命题的定义，理解存在量词、存在量词命题的定义；2.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 知识点一　全称量词 1．短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“__∀__”表示，含有全称量词的命题，叫做__全称量词命题__． 2．将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，… 表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为__∀x∈M，p(x)__． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)所有实数都有平方根．(　×　) (2)“有的质数是奇数”是全称量词命题．(　×　) (3)“三角形内角和等于180°”是全称量词命题．(　√　) (4)“对于任意实数x，2x＋1是奇数”是全称量词命题．(　√　) 【解析】 (1)负数没有平方根． (2)“所有质数是奇数”才是全称量词命题． (3)“三角形内角和等于180°”即“所有的三角形内角和等于180°”． (4)根据全称量词命题的概念知，该说法正确． 知识点二　存在量词 1．短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“__∃__”表示．含有存在量词的命题，叫做__存在量词命题__． 2．存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为__∃x∈M，p(x)__． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)有一个实数x，使x2＋2x＋＝0.(　×　) (2)函数y＝－2x＋3的图象上有些点在第三象限． (　×　) (3)有些整数只有两个正因数．(　√　) (4)“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题且是真命题．(　√　) 【解析】 (1)由于∀x∈R，x2＋2x＋＝(x＋1)2＋≥>0，因此使x2＋2x＋＝0的实数x不存在．所以存在量词命题“有一个实数x，使x2＋2x＋＝0”是假命题． (2)作出函数y＝－2x＋3的图象，知其经过第一、二、四象限． (3)由于存在整数只有两个正因数的情况，如3有正因数3和1，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”是真命题． (4)因为偶数2是质数，所有“至少有一个偶数是质数”是存在量词命题且是真命题． 将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示． (1)自然数的平方大于零； (2)方程ax2＋2x＋1＝0(a<1)至少存在一个负根； (3)两个无理数的和是无理数； (4)存在两个相似三角形不全等． 解：(1)该命题省略了全称量词“任意一个”，因此可用符号表示为：∀x∈N，x2>0. (2)用符号表示为：∃x<0，ax2＋2x＋1＝0(a<1). (3)用符号表示为：∀a，b∈{无理数}，a＋b∈{无理数}． (4)用符号表示为：∃△ABC∽△A′B′C′，△ABC≌△A′B′C′不成立． 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. (1)梯形的对角线相等； (2)存在一个四边形有外接圆； (3)所有的正方形都是矩形； (4)凸多边形的外角和等于360°. 解：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，故为全称量词命题． (2)命题为存在量词命题． (3)命题为全称量词命题． (4)命题可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题． [规律方法] 1．判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤： 2．同一个全称量词命题或存在量词命题，可能有不同的表述方法，现列表总结如下，在实际应用中可以灵活选择： 命题 全称量词命题 “∀x∈A，p(x)” 存在量词命题 “∃x∈A，p(x)” 表 述 方 法 ①所有的x∈A， p(x)成立； ②对一切x∈A， p(x)成立； ③对每一个x∈A， p(x)成立； ④任意一个x∈A， p(x)成立； ⑤凡x∈A，都有 p(x)成立 ①存在x∈A，使 p(x)成立； ②至少有一个x∈A，使p(x)成立； ③对有些x∈A， p(x)成立； ④对某个x∈A， p(x)成立； ⑤有一个x∈A，使 p(x)成立 活学活用 判断下列语句是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示出来． (1)任何一个实数除以1，仍等于这个实数； (2)有一个奇数不能被3整除； (3)每个三角形至少有两个锐角； (4)存在负数x，使得>2. 解：(1)全称量词命题，∀x∈R，＝x. (2)存在量词命题，∃x∈{x|x＝2k－1，k∈Z}，不是整数． (3)全称量词命题，∀x∈{三角形}，x至少有两个锐角． (4)存在量词命题，∃x<0，>2. 判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，x2－x＋1>； (2)每一条线段的