第一章 1.4 充分条件与必要条件-【精彩三年】2021-2022学年高中数学新教材必修第一册课程探究与巩固word版（人教A版 浙江专版）

1．4　充分条件与必要条件 1．4.1　充分条件与必要条件 1．4.2　充要条件 [课程目标] 1.理解充分条件、必要条件的概念，理解充要条件的意义，了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系；2.能通过充分性、必要性解决简单的问题；3.能对充分条件进行证明． 知识点　充分、必要条件与充要条件 1．充分条件、必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出 关系 p__⇒__q p__⇒/__q 条件 关系 p是q的__充分条件__， q是p的__必要条件__ p不是q的__充分条件__， q不是p的__必要条件__ 定理 关系 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的充分条件； 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的必要条件 2．充要条件：如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作__p⇔q__．此时，我们说p是q的__充分必要条件__，简称为__充要条件__．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q__互为充要条件__． [研读](1)“p是q的充分条件”的等价说法有： ①“若p，则q”为真；②p⇒q；③q是p的必要条件． (2)“p是q的必要条件”的等价说法： ①“若q，则p”为真；②q⇒p；③q是p的充分条件． 判断正误(请在括号中打“√”或“×”). (1)“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件．(　√　) (2)“ab＝0”是“b＝0”的必要条件．(　√　) (3)“x2>1”是“x>1”的充分条件．(　×　) (4)“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的必要不充分条件.(　×　) (5)已知p：x>0，y>0，q：xy<0.则p是q的既不充分又不必要条件．(　√　) (6)已知p：x＝0，y＝0，q：x2＋y2＝0.则p是q的充要条件．(　√　) 【解析】 (1)由x＝y可以推出x2＝y2，则“x＝y”是“x2＝y2”的充分条件． (2)当ab＝0时，不一定有b＝0，但b＝0时，一定有ab＝0，所以“ab＝0”是“b＝0”的必要条件． (3)当x2>1时，x>1不一定成立，如(－2)2>1，但－2<1；当x>1时，可得x2>1.所以“x2>1”是“x>1”的必要条件． (4)当x2－3x＋2＝0时，可得x＝1或x＝2；当x＝1或x＝2时，可推出x2－3x＋2＝0，所以“x＝1或x＝2”是“x2－3x＋2＝0”的充要条件． (5)因为x>0，y>0⇒/ xy<0，xy<0⇒/ x>0，y>0，所以p是q的既不充分也不必要条件． (6)因为x＝0，y＝0 ⇒x2＋y2＝0，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件；又x2＋y2＝0⇒x＝0，y＝0，所以q是p的充分条件，p是q的必要条件，所以p是q的充要条件． 下列各题中，分别指出p是q的什么条件． (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A; (4)p：a是自然数；q：a是正数. 解：(1)因为两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， 所以p是q的必要不充分条件. (2)因为矩形的对角线相等，所以p⇒q，而对角线相等的四边形不一定是矩形，所以q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件. (3)因为p⇒q，且q⇒p，所以p是q的充要条件. (4)0是自然数，但0不是正数，故p⇒/ q；又是正数，但不是自然数，故q⇒/ p．故p是q的既不充分也不必要条件． [规律方法] 充分条件、必要条件的判定方法 (1)定义法：直接判断p⇒q和q⇒p是否成立，然后得结论． (2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围⇒/ 小范围． (3)传递法：已知p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则p1⇒pn. 活学活用 下列各题中，p是q的什么条件？ (1) p：ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，q：a>－1； (2) p：1－x<2x－8，q：x－3>2； (3) p：A∪B＝A，q：A∩B＝B； (4) p：x>2，y>2，q：x＋y>4. 解：(1)由ax2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，知Δ＝22－4×a×(－1)>0且a≠0，得a>－1且a≠0，即p⇒/ q；反之，取a＝0，则方程ax2＋2x－1＝0只有一个实数根，即q⇒/ p，所以p是q的既不充分也不必要条件． (2)易知p：x>3，q：x>5，所以p是q的必要不充分条件． (3)因为A∪B＝A⇔A∩B＝B，所以p是q的充要条件． (4)p⇒q，但q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件． 已知ab≠0，求证：