必考点08 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式-【对点变式题】2021-2022学年高一数学期中期末必考题精准练（苏教版2019必修第一册）

必考点08 从函数观点看一元二次方程 和一元二次不等式 题型一 一元二次不等式的解法 例题1解下列不等式： (1)2x2＋5x－3<0；(2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0；(4)－x2＋6x－10>0. 【解析】(1)方程2x2＋5x－3＝0的两实根为x1＝－3，x2＝，作出函数y＝2x2＋5x－3的图象，如图①.由图可得原不等式的解集为. (2)原不等式等价于3x2－6x＋2≥0.Δ＝36－4×3×2＝12>0，解方程3x2－6x＋2＝0，得x1＝，x2＝.作出函数y＝3x2－6x＋2的图象， 如图②，由图可得原不等式的解集为. (3)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图③.由图可得原不等式的解集为. ③ (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝36－40＝－4<0， ∴方程x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为. 【解题技巧提炼】 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. （2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. （3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. （4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. （5）写解集.根据图象写出不等式的解集. 题型二 含有参数的一元二次不等式的解法 例题1(1) 设a∈R，解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0； （2）设m∈R，解关于x的不等式m2x2＋2mx－3<0. 【解析】（1）Δ＝a2－16，下面分情况讨论： ①当Δ<0，即－4<a<4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R. ②当Δ≥0，即a≥4或a≤－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为 x1＝(－a－)，x2＝(－a＋). 当a＝－4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}； 当a>4或a<－4时，原不等式的解集为 ； 当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}. （2）①m＝0时，－3<0恒成立，所以x∈R. ②当m>0时，不等式变为(mx＋3)(mx－1)<0，即<0，解得－<x<. ③当m<0时，原不等式变为<0，解得<x<－. 综上，m＝0时，解集为R； m>0时，解集为； m<0时，解集为. 【解题技巧提炼】 解含参数的一元二次不等式的步骤 特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算． 题型三 三个“二次”之间的关系及应用 例题1若不等式的解集是，求不等式的解集． 【解析】方法一：由的解集为知． 又，为方程的两个根，∴，． ∴，． ∴不等式变为，即， 又，∴．∴所求不等式的解集为． 方法二：由已知得且，，知． 设方程的两根分别为x1，x2，， 则，，其中，， ∴，．∴不等式的解集为． 【解题技巧提炼】 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． 题型四 分式不等式的解法 例题1解下列不等式：(1) <0；(2)≤2. 【解析】 (1)由<0得>0，此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0， ∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}． (2)法一：移项得－2≤0，左边通分并化简有≤0，即≥0， 它的同解不等式为∴x<2或x≥5. ∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}． 法二：原不等式可化为≥0，此不等式等价于①或② 解①得x≥5，解②得x<2，∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}． 【解题技巧提炼】 （1）对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 题型五 一元二次不等式的实际应用 例题1北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x