第02讲 三角函数的概念（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第02讲 三角函数的概念 【学习目标】 1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号. 2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义. 3.会应用三角函数的定义解决相关问题。 【知识结构】 【考点总结】 一、任意角的三角函数 1.单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. 2.定义： 图1­2­1 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么： (1)y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y； (2)x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x； (3)叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数. 3.正弦函数sin α的定义域是R；余弦函数cos α的定义域是R；正切函数tan α的定义域是. 二、正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 图1­2­2 口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 三、三角函数线 1.(1)把规定了正方向的直线称为有向直线. (2)有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段. 2.三角函数线的定义：如图1­2­3， ①设任意角α的顶点在原点O(O为单位圆圆心)，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y)， ②过点P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,0)作单位圆的切线， ③设它与角α的终边(当α位于第一、四象限时)或其反向延长线(当α位于第二、三象限时)相交于点T(由于过切点的半径垂直于圆的切线，所以AT平行于y轴). 图1­2­3 于是sin α＝y＝MP，cos α＝x＝OM，tan α＝＝＝＝AT. 我们规定与坐标轴同向时，方向为正向，与坐标轴反向时，方向为负向，则有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线. 3.轴线角的三角函数线：当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的正切值不存在. 四、诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值相等 ，其中 ，其中 ，其中 该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应. 【例题解析】 类型一　三角函数定义的应用 命题角度1　已知角α终边上一点的坐标求三角函数值 例1　已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. 考点　任意角的三角函数 题点　用定义求三角函数的值 解　由题意知r＝|OP|＝， 由三角函数定义得cos θ＝＝ . 又∵cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，P(1,3)， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3. 当x＝－1时，P(－1,3)， 此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3. 反思与感悟　(1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法 在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便． (2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论． 跟踪训练1　已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． 考点　任意角的三角函数 题点　用定义求三角函数的值 解　r＝＝5|a|. ①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， ∴2sin α＋cos α＝－＝1. ②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝＝－，cos α＝＝， ∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 综上所述，2sin α＋cos α＝±1. 命题角度2　已知角α终边所在直线求三角函数值 例2　已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋的值． 考点　任意角的三角函数 题点　用定义求三角函数的值 解　由题意知，cos α≠0. 设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则 x＝k，y＝－3k，r＝＝|k|. (1)当k>0时，r＝k，α是第四象限角， sin α＝＝＝－，＝＝＝， ∴10sin α＋＝10×＋3 ＝－3＋3＝0. (2)当k<0时，r＝－k，α是第二象限角， sin α＝＝＝， ＝＝＝－， ∴10sin α＋＝10