专题01模型方法课之相似三角形模型（一）双A字型-【考点培优尖子生专用】2021-2022学年九年级数学专题训练（北师大版）

专题01模型方法课之相似三角形模型（一）双A字型（原卷版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为 ( ) A．cm B．4cm C．cm D．cm 2．如图，中，，，，点在内，且平分，平分，过点作直线，分别交、于点、，若与相似，则线段的长为（ ） A．5 B． C．5或 D．6 二、填空题 3．如图，光源在水平横杆的上方，照射横杆得到它在平地上的影子为（点、、在一条直线上，点、、在一条直线上），不难发现．已知，，点到横杆的距离是，则点到地面的距离等于______． 4．在平面直角坐标系中，已知，，点是轴正半轴上一动点，以为直角边构造直角，另一直角边交轴负半轴于点，为线段的中点，则的最小值为______． 5．如图，在中，点是边上的一点，且，连接并取的中点，连接，若，且，则的长为__________． 三、解答题 6．（教材呈现）下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容． （定理证明）请根据教材内容，结合图①，写出证明过程． （定理应用）如图②，在矩形ABCD中，AC为矩形ABCD的对角线，点E在边AB上，且AE = 2BE，点F在边CB上，CF= 2BF．O为AC的中点，连结EF、OE、OF． （1）EF与AC的数量关系为__________． （2）与的面积比为___________． 7．大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列入第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，大雁塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与大雁塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，计算大雁塔的高度． 8．如图，中，中线，交于点，交于点． （1）求的值． （2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明． 9．（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：． （2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点． ①如图，若，直接写出的长； ②如图，求证：． 10．（1）如图1，在△ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：； （2） 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点． ①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证MN2=DM·EN． 11．有这样一道题：已知：如图（1），点在内部，连，，，点，，分别在，，上，且，，． （1）求证： ∽； （2）若将这题图（1）中的点移到外，如图（2），其他条件不变，试 问：与有何关系？请你完成图（2），写出你的结论（不需证明）． 12．在图中；如图，在正方形中，延长至，使，连结交延长线于点. （1）求证：； （2）如图，连结交于点，连结交于点.若，且，则线段______. 13．如图，在中，，，．若动点从点出发，沿射线运动，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为． （1）求出关于的函数关系式； （2）当为何值时，的面积有最大值或最小值，最大值或最小值为多少？ 14．如图，是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动，现有一块石头，要使其滚动，杠杆端必须向上翘，已知杠杆上的与长度之比为，则要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压多少厘米？ 15．如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上． （1）求正方形DEFG的边长； （2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ． 16．有一块直角三角形木板，∠B＝90°，AB＝1.5m，BC＝2m，要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好（加工损耗忽略不计）． 17．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使得AE＝AB，联结DE、AC．点F在线段DE上，联结BF，分别交AC、AD于点G、H． （1）求证：BG＝GF； （2）如果AC＝2AB，点F是DE的中点，求证：AH2＝GH•BH． 18．（1）问题提出：如图（1），在直角△ABC中，∠C＝90°，A