第03讲 等比数列-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第4章 数列 第03讲 等比数列 课程标准 重难点 1. 理解等差数列的概念 2. 探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式 3. 能再具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题 4. 体会等比数列与一次函数的关系 1.等比数列的基本运算 2.等比数列的判定与证明 3.等比数列的性质与应用 1．等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)． 2．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1(a1≠0，q≠0)． 3．等比中项 若G2＝a·b_(ab≠0)，那么G为a与b的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)． (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N＋)，则ak·al＝am·an. (3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)， ，{ }，{an·bn}， 仍是等比数列． 5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， Sn＝ 6．等比数列前n项和的性质 公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__. 难点正本　疑点清源 1．等比数列的特征 从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数． 2．等比数列中的函数观点 利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．两个防范 (1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误． 考法01 抛物线的定义及应用 1．已知等比数列{an}满足a1＝ ，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于(　　) A．2　　　　　　　　　 B．1 C. D. 【答案】C 【解析】由{an}为等比数列，得a3a5＝ ， 又a3a5＝4(a4－1)，所以 ＝4(a4－1)，解得a4＝2. 设等比数列{an}的公比为q， 则由a4＝a1q3，得2＝ q3，解得q＝2， 所以a2＝a1q＝ . 2．(2021·湘东五校联考)已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 【答案】C 【解析】当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意； 当q≠1时，由 得q＝－ . 综上，q的值是1或－ ，故选C. 【方法总结】 等比数列基本量运算的解题策略 (1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解． (2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝ . 考法02 等比数列的判定与证明 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列． 【证明】因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an， 所以 ＝ 因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5. 所以b1＝a2－2a1＝3. 所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列． 【跟踪训练】 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3的值； (2)是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)当n＝1时，S1＝a1＝2a1－3，解得a1＝3； 当n＝2时，S2＝a1＋a2＝2a2－6，解得a2＝9； 当n＝3时，S3＝a1＋a2＋a3＝2a3－9，解得a3＝21. (2)假设{an＋λ}是等比数列，则(a2＋λ)2＝(a1＋λ)(a3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面证明{an＋3}为等比数列： ∵Sn＝2an－3n，∴Sn＋1＝2an＋1－3n－3， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an－3，即2an＋3＝an＋1， ∴2(an＋3)＝an＋1＋3，∴ ＝2， ∴存在λ＝3，使得数列{an＋3}是首项为a1＋3＝6，公比为2的等比数列