第02讲 等差数列-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第4章 数列 第02讲 等差数列 课程标准 重难点 1.通过实例，理解等差数列的概念． 2.探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式． 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4.体会等差数列与一次函数的关系. 1.等差数列的基本运算 2.等差数列的判定与证明 3.等差数列的性质与应用 1． 等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母__d__表示． 2． 等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 3． 等差中项 如果A＝ ，那么A叫作a与b的等差中项． 4． 等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈N＋)． (2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N＋)，则ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列． 5． 等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝ 或Sn＝na1＋ d. 6． 等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝ n2＋ n. 数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)． 7． 等差数列的前n项和的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值． 难点正本　疑点清源 1．等差数列的判断方法 (1)定义法：an－an－1＝d (n≥2)； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2. 2．等差数列与等差数列各项和的有关性质 (1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等差数列，公差为kd. (2)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (3)S2n－1＝(2n－1)an. (4)若n为偶数，则S偶－S奇＝ d. 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 3．等差数列与函数 在d≠0时，an是关于n的一次函数，一次项系数为d；Sn是关于n的二次函数，二次项系数为，且常数项为0. 考法01 等差数列的相关计算 （1）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　) A．－12　　　　　　　　　 B．－10 C．10 D．12 【答案】B 【解析】设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10. （2）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【解析】设等差数列{an}的公差为d， 则由 得 即 解得d＝4. 【跟踪训练】 1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1＞0，则S20＝(　　) A．420 B．340 C．－420 D．－340 【答案】D 【解析】设数列{an}的公差为d，则a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12，得d＝±2，由a1＞0，a2＝0，可知d＜0，所以d＝－2，所以a1＝2，故S20＝20×2＋ ×(－2)＝－340. 2.设数列{an}是等差数列，且a2＝－6，a6＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　) A．S4＜S3 B．S4＝S3 C．S4＞S1 D．S4＝S1 【答案】B 【解析】设{an}的公差为d，由a2＝－6，a6＝6，得 解得 于是，S1＝－9，S3＝3×(－9)＋ ×3＝－18，S4＝4×(－9)＋ ×3＝－18，所以S4＝S3，S4＜S1，故选B. 【方法总结】 等差数列基本运算的常见类型及解题策略 (1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想． (2)求通项．a1和d是等差数列的两个基本元素． (3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解． (4)求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解． [提醒]　在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代换思想，使运算更加便捷． 考法02 等差数列