专题02 解直角三角形-2021-2022学年九年级数学上册同步辅导《考点•题型 •技巧》讲练突破（沪科版）

专题02 解直角三角形 考点1解直角三角形 【方法点拨】解决此类问题的关键在于解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°） ①三边之间的关系：a2+b2=c2；②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；③边角之间的关系；正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边.；④解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边． 考点2 解斜三角形 【方法点拨】解决此类问题的关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解. 1．锐角△ABC中，∠B＝45°，BC＝，则AC的长可以是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】 作CD⊥AB于D，先利用等腰直角三角形的性质和三角函数求出BD=CD=1，然后利用勾股定理进行逐一判断四个选项是否满足题意即可. 【详解】 解：作CD⊥AB于D，如图所示： ∵∠B＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴BD＝CD＝，∠BCD＝45°， 当AC＝1时，点D与A重合，△ABC是直角三角形，选项A不符合题意； 当AC＝时，，则△ACD是等腰直角三角形，∠ACD＝45°， ∴∠ACB＝90°，△ABC是直角三角形，选项B不符合题意； 当AC＝时，AC＜CD， ∴∠ACD＞∠A，则△ABC是钝角三角形，选项C不符合题意； 当AC＝时， ∴∠ACD＜∠A，则△ABC是锐角三角形；选项D符合题意， 故选D． 【点睛】 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形角与边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 2．如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光的照射下在水平地面和坡面上的影子分别是BC，CD，则得BC=6m，CD=4m，，在D处测得电线杆顶端A的仰角为，则电线杆AB的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意及图形作如图所示辅助线，可得：，然后在在中，利用三角函数及勾股定理可得：，，依据图形可得：，利用其正切值可确定，即可确定，然后继续利用其正切值，即可求出答案． 【详解】 如图所示，延长AD交BC的延长线于点E，过点D作DF⊥BE于点F， ∵， ∴， 又∵， 在中， ∴，， 根据题意及图形可得：， ∴， ∴， ∴， 即电线杆的高度为米． 故选：B． 【点睛】 题目主要考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，作出相应辅助线，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．在△ABC中，BC＝＋1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ） A． B．＋1 C． D．＋1 【答案】C 【分析】 过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中和Rt△ACD中，分别用AD表示出BD、CD，根据BC的长先求出AD，再求三角形的面积． 【详解】 如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D． 在Rt△ABD中，∠B＝45°， ∴BD＝AD． 在Rt△ACD中，∠C＝30°， ∴CD＝AD． ∵BD＋CD＝BC， ∴AD＋AD＝1＋． 即AD＝1． ∴S△ABC＝×BC×AD ＝（1＋）． 故选：C． 【点睛】 本题考查了一般三角形面积计算问题，关键是通过作辅助线转化为直角三角形来解决. 4．如图，在矩形中，，，对角线、交于点．点为边上一动点，连接，以为折痕，将折叠，点的对应点为点，线段与交于点．若为直角三角形，则的长为________． 【答案】或 【分析】 分情况讨论，当时，证明，当时，证明，根据相似三角形的性质与判定即可求得， 【详解】 如图，将折叠，点的对应点为点，线段与交于点， 四边形是矩形， ，， ， 折叠， ， ，， ， ， ， ①如图，当时， ，， ， ， ， ,， ， ， ， ， ， ， ， 解得； ②如图，当时， ， ， ， ， ． 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，分类讨论是解题的关键． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是 __________________． 【答案】 【分析】 如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．证明OE＝AC＝1，推出点E的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大． 【详解】 解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T． ∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°，AC＝AB＝2， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∵AO＝OC＝1， ∴OE＝AC＝1， ∴点E在以O为圆心