必考点01 勾股定理——【对点变式题】2021-2022学年八年级数学上学期期中期末必考题精准练（北师大版）

必考点01 勾股定理 题型一 求线段长 1．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x、y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列四个说法：①x2+y2＝49，②x﹣y＝2，③2xy+4＝49，④x+y＝9．其中说法正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【解答】解：由题意， ①﹣②得2xy＝45 ③， ∴2xy+4＝49， ①+③得x2+2xy+y2＝94， ∴（x+y）2＝94， ∴①②③正确，④错误． 故选：B． 2．在△ABC中，AB＝25，AC＝26，BC边上的高AD＝24，则△ABC的周长为　 　． 【解答】解：①如果角B是锐角，此时高AD在三角形的内部， 在Rt△ABD中，BD＝，在Rt△ACD中，CD＝， ∴BC＝7+10＝17，此时△ABC的周长＝AB+AC+BC＝68； ②如果角B是钝角， 在Rt△ABD中，BD＝，在Rt△ACD中，CD＝， ∴BC＝10﹣7＝3，此时△ABC的周长＝AB+AC+BC＝54； 综上可得△ABC的周长为68或54． 故答案为：68或54． 3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝，以BC为斜边作等腰Rt△BCD，连接AD，则线段AD的长为　 　． 【解答】解：当点D在BC的下方，如图， 过D 作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 则四边形AEDF是矩形， ∴∠EDF＝90°， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝∠CDF， ∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝DC， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE＝DF，BE＝CF， ∴∠DAE＝∠DAF＝45°， ∴AE＝AF， ∴2﹣BE＝+BE， ∴BE＝， ∴AE＝， ∴AD＝AE＝， 当点D在BC的上方，如图， 作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， 则四边形AEDF是矩形， ∴∠EDF＝90°， ∵∠BDC＝90°， ∴∠BDE＝∠CDF， ∵∠BED＝∠CFD＝90°，BD＝DC， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE＝DF，BE＝CF， ∴∠DAE＝∠DAF＝45°， ∴AE＝AF， ∴2﹣BE＝BE﹣， ∴BE＝， ∴AE＝， ∴AD＝AE＝， 故答案为：或． 题型二 求面积 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝4，S3＝16，则S2＝（　　） A．20 B．12 C．2 D．2 【解答】解：由勾股定理得，AC2＝AB2﹣BC2＝16﹣4＝12， 则S2＝AC2＝12， 故选：B． 2．观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，a＞b，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（　　） A．a（a﹣b）＝a2﹣ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2 【解答】解：标记如下： ∵S正方形PQMN＝S正方形ABCD﹣4SRt△ABN， ∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4× ＝a2﹣2ab+b2． 故选：C． 3．在直线l上依次摆放着五个正方形（如图所示）．已知斜放置的两个正方形的面积分别是2、3，正放置的三个正方形的面积依次是S1、S2、S3，则S1+2S2+S3＝　 　． 【解答】解：如图，∵都是正方形， ∴∠CAE＝90°，AC＝AE， ∵∠ACB+∠BAC＝90°， ∠BAC+∠DAE＝90°， ∴∠ACB＝∠DAE， 在△ABC和△EDA中，， ∴△ABC≌△EDA（AAS）， ∴AB＝DE， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC2+AB2＝AC2， 所以，BC2+DE2＝AC2， ∵S1＝BC2，S2＝DE2，AC2＝2， ∴S1+S2＝2， 同理可得，S2+S3＝3， ∴S1+2S2+S3＝2+3＝5． 故答案为：5． 题型三 利用勾股定理证明平方关系 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，P为BC上任意一点，请用学过的知识说明：AB2﹣AP2＝PB•PC． 【解答】解：过A作AF⊥BC于F． P在BF上，在Rt△ABF中，AF2＝AB2﹣BF2； 在Rt△APF中，AF2＝AP2﹣FP2； 则AB2﹣BF2＝AP2﹣FP2； 即AB2﹣AP2＝BF2﹣FP2＝（BF+FP）（BF﹣FP）； ∵AB＝AC，AF⊥BC， ∴BF＝FC； ∴BF+FP＝CF+FP＝PC，BF﹣FP＝BP； ∴AB2﹣AP2＝BP•PC． P在CF上，同理可得AB2﹣AP2＝PB•PC． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一点，连接AP． （1）若P为BC上的中