专题12导数与极限第一辑-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题12导数与极限第一辑 1．【2021年福建预赛】若关于 的不等式 有且仅有三个不同的整数解，则整数 的最小值为 . 【答案】3 【解析】设 则 时, 时, . 因此, 在区间 上递减，在区间 上递增: 且 时， 时, . 由此作出 的草图如图所示. 又 的图像是过点 的直线，结合图像可知 由于 时， ; , 因此,0,1,2是不等式 的三个整数解. 由于不等式 有且仅有三个不同的整数解, 所以 ，即 . 经检验，a=3符合要求， 所以，符合条件的a的最小值为3. 2．【2019年贵州预赛】已知函数,若m满足.则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】由,且x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数. 又由. 所以. 即m的取值范围是. 3．【2018年广西预赛】若定义在R上的函数满足，则不等式的解为___________. 【答案】 【解析】 构造函数，则.由可知在（）内单调递增，从而有.故. 4．【2018年甘肃预赛】已知函数），函数满足），若函数恰有2019个零点，则所有这些零点之和为______． 【答案】2019 【解析】 易知函数为奇函数，从而的图象关于点对称．函数，可知的图象也关于点对称． 由此的图象关于点对称，从而这2019个零点关于点（1,0）对称， 由于的一个零点，其余2018个零点首尾结合，两两关于点对称，和为2018，故所有这些零点之和为2019． 5．【2018年四川预赛】设直线与曲线有三个不同的交点，且，则的值为______. 【答案】1 【解析】 曲线关于点对称，且，所以直线必过原点，从而 设，则 由此得，代入得 即 解得 故答案为：1 6．【2017年广西预赛】设函数在上存在导数,对任意的有,在上.若,则实数的范围是 . 【答案】 【解析】提示:由题意得,构造函数, 则从而在上单调递增. 由条件得,则是奇函数. 因为在上单调递增,由知， 所以解得 7．【2017年湖南预赛】设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】提示:将不等式 化为， ① 构造,使得①式化为， ② 因为,由已知条件， 两边同乘以,可得(因. 所以,在上是减函数,不等式②化为,即， 所以,不等式的解集为. 8．【2016年福建预赛】函数f(x) =x2ln x+x2-2零点的个数为________. 【答案】1 【解析】 由条件知. 当时，<0； 当时，>0. 于是，f(x)在区间(0，)上为减函数，在区间(，+∞)上为增函数. 又时， f(x)=x2(lnx+1)-2<0， 注意到， 故函数f(x)零点的个数为1. 9．【2015年山东预赛】设.若关于的方程无实根,则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 由函数的图像,知若,且无实根,则恒成立， 设.则： . 故在区间上递减,在区间上递增. 从而, 时取得最小值,即： ， . 又 ， . 10．【2015年福建预赛】函数恰有两个极值点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 函数，由于函数两个极值点为，即是方程的两个不等实数根，即方程，且；设，在同一坐标系内画出两个函数图象，如图所示, 要使这两个函数有个不同的交点，应满足，解得，所以的取值范围为，故选. 【方法点睛】本题主要考查函数的极值、函数与方程以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解 11．【2018年湖南预赛】函数（ ） 【答案】A 【解析】 由于函数为偶函数又过（0，0）所以直接选A. 【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题. 12．【2018年湖南预赛】设函数是R上的奇函数，当时，，则的零点个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 ∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，所以0是函数f（x）的一个零点;当x＞0时，令f（x）=ex+x-3=0，则ex=-x+3，分别画出函数y=ex，和y=-x+3的图象，如图所示， 有一个交点，所以函数f（x）有一个零点，又根据对称性知，当x＜0时函数f（x）也有一个零点．综上所述，f（x）的零点个数为3个， 故选：C． 13．【2017年四川预赛】已知函数在处有极值,则实数的值是( ) (A) (B) (C)1 (D)2