1.3.1 空间直角坐标系（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1.3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系 [学习目标] 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置(重点).2.掌握空间向量的正交分解的坐标表示． 要点一　 空间直角坐标系 1．概念：在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}．以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz，O叫做原点，i，j，k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分． 2．右手直角坐标系的概念：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系． 要点二　空间向量的坐标表示 1．点的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标．＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使，且点A的位置由向量 2．向量的坐标表示：在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z). 思考：空间向量的坐标和点的坐标有什么关系？ 提示 若点A在空间直角坐标系中的坐标为(x，y，z)，那么向量的坐标也为(x，y，z)． 判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式．(　　) (2)空间直角坐标系中，在坐标平面Ozx内的点的坐标一定是(a,0,0)的形式．(　　) (3)关于坐标平面Oyz对称的点其横坐标、纵坐标保持不变，竖坐标相反．(　　) (4)若点A的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)．(　　) 解析 (1)错误．空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(a,0,0)的形式． (2)错误．空间直角坐标系中，在坐标平面Ozx内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式． (3)错误．关于坐标平面Oyz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反． (4)正确．由点和向量坐标的概念可知正确． 答案 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 考点一　求点的坐标 规律总结 求空间一点P的坐标常用的两个方法：一是利用点在坐标轴上的投影求解；二是利用单位正交基底表示向量的坐标就是点P的坐标．， 【例题1】 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 解析 因为正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，所以可得正四棱锥的高为)．.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2，0)，B(2,2,0)，C(－2，2,0)，D(－2，－2,0)，P(0,0,2＝2 (答案不唯一) 【变式1】 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标． 解析 建立如图所示的空间直角坐标系． 点E在z轴上，它的横坐标、纵坐标均为0，而E为DD1的中点，故其坐标为. 由F作FM⊥AD，FN⊥CD，垂足分别为M，N， 由平面几何知识知FM＝FN＝， 故点F的坐标为. 因为CG＝CD，G，C均在y轴上， 故点G的坐标为. 由H作HK⊥CG，可得DK＝，，HK＝ 故点H的坐标为. (答案不唯一) 考点二　求向量的坐标 答题模板　 用坐标表示空间向量的一般步骤 (1)观察图形：观察图形特征，寻找两两垂直的三条直线； (2)找垂直：找出(或作出)两两垂直的三条直线和相应的单位向量作为基底； (3)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系； (4)进行计算：综合利用空间向量的线性运算； (5)确定结果：确定目标向量的坐标． 【例题2】 已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出的坐标．，， 解析 ×2j＝j＝(0,1,0)．＝＝×2k