1.2 第1课时 空间向量基本定理（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

1．2　空间向量基本定理 第一课时　空间向量基本定理 [学习目标] 1.了解空间向量基本定理及其意义.2.掌握空间向量的正交分解.3.会选择适当的基底表示任意向量(重点)． 要点一　空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 思考：若{a，b，c}是空间的一个基底，那么a与b可共线吗？ 提示 a与b不可共线．因为a，b，c不共面，所以a与b不可共线． 要点二　正交分解 1．单位正交基底的概念：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 2．正交分解的概念：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一个基底．(　　) (2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全都不是零向量．(　　) (3)若对向量p，可以找到三个向量a，b，c，使p＝xa＋yb＋zc，则{a，b，c}可构成空间向量的一个基底．(　　) (4)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(λ1，λ2，λ3)，使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3.(　　) 解析 (1)错误．只要三个向量不共面，就可以作为一个基底． (2)正确．由基底的概念知正确． (3)错误．三个向量必须不共面才行． (4)错误．当λ1＝λ2＝λ3＝0时，满足条件． 答案 (1)×　(2)√　(3)×　(4)× 考点一　基底的判断 解题技巧　 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底，关键是要判断这三个向量是否共面．首先应考虑三个向量是否是零向量，其次判断三个非零向量是否共面．如果从正面难以入手判断三个向量是否共面，可假设三个向量共面，利用向量共面的充要条件建立方程组．若方程组有解，则三个向量共面；若方程组无解，则三个向量不共面． 【例题1】 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且}能否作为空间的一个基底．，，＝e1＋e2－e3，试判断{＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋2e2－e3， 解析 假设成立，＋y＝x共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使，， 所以e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3. 因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以e1，e2，e3不共面， 所以此方程组无解， 所以不存在实数x，y，使不共面．，，，所以＋y＝x 故{}能作为空间的一个基底．，， 【变式1】 (多选)已知a，b，c是不共面的三个向量，则不能构成一个基底的一组向量是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c 答案　ABD 解析　对于A项，因为2a＝(a－c)，所以c，a＋c，a－c三个向量共面，故它们不能构成一个基底．故选ABD项．(a＋c)－(b＋2a)，所以2b，b－a，b＋2a三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C项，因为找不到实数λ，μ，使a＝λ·2b＋μ(b－c)成立，故a,2b，b－c三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于 D项，因为c＝(b－a)＋(a＋2b)，所以2a，a－b，a＋2b三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B项，因为2b＝(a－b)＋ 考点二　用基底表示空间向量 答题模板　 用基底表示空间向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 【例题2】 已知空间四边形OABC中，.和＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，F为MN的中点．用基底{a，b，c}表示向量＝b，＝a， 解析 如图所示． c.b＋a＋)＝＋(×＋×＝＋)＝＋(＝c，b＋a＋＝－)－＋(＝－＝ 【变式2】 如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，已知.，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量＝b，＝a， 解析