第1章 空间向量与立体几何 章末复习方案（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

章末复习方案 考法一　利用空间向量证明线、面的位置关系 用空间向量判断空间中线、面位置关系的类型与方法总结： (1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． (2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直． (3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量． (4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． (5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题． (6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题． 【真题1】 (2020·天津卷节选)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝2，CC1＝3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD＝1，CE＝2，M为棱A1B1的中点．求证：C1M⊥B1D. 证明 依题意，以C为原点，分别以＝2－2＋0＝0，所以C1M⊥B1D.·＝(2，－2，－2)，从而＝(1,1,0)，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C(0,0,0)，A(2，0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,3)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，D(2,0,1)，E(0，0,2)，M(1,1,3)．依题意，，， 【真题2】 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点． (1)求证：B1D⊥平面ABD； (2)求证：平面EGF∥平面ABD. 证明 (1)以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，则B(0，0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设BA＝a，则A(a,0,0)，所以＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.·＝0，·＝(0,2，－2)，所以＝(0,2,2)，＝(a,0,0)， (2)由(1)知，E(0,0,3)，G，F(0,1,4)， 则＝0＋2－2＝0，即B1D⊥EG，B1D⊥EF.·＝0＋2－2＝0，·＝(0,1,1)，所以，＝ 又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，因此B1D⊥平面EGF.结合(1)可知平面EGF∥平面ABD. 考法二　利用空间向量求解空间角 空间角的求解可以通过几何方法得到，但其中要作出所求的角，对考生的空间想象能力、推理论证能力有较高的要求，使用空间向量方法可以减少作图，只要建立合理的空间直角坐标系，把所求的角转化为向量之间的夹角即可．高考试题中的立体几何解答题往往是分步设问，其中空间位置关系证明部分侧重考查几何的方法，空间角求解部分侧重考查空间向量方法． 【真题3】 (2020·全国卷Ⅱ)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F. (1)证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F； (2)设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO＝AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值． 解析 (1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MN∥CC1.又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.又B1C1⊥MN，且A1N∩MN＝N，所以B1C1⊥平面A1AMN.因为B1C1⊂平面EB1C1F，所以平面A1AMN⊥平面EB1C1F. (2)由已知得AM⊥BC.以M为坐标原点，.由(1)知平面A1AMN⊥平面ABC.作NQ⊥AM，垂足为Q，则NQ⊥平面ABC.设Q(a,0，0)，，E.连接NP，则四边形AONP为平行四边形，故PM＝|为1个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Mxyz，则AB＝2，AM＝的方向为x轴正方向，| 则NQ＝.，B1 故..故直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值为＝〉＝.又n＝(0，－1,0)是平面A1AMN的一个法向量，故cos〈n，|＝，|＝ 考法三　用空间向量解决折叠问题 折叠问题是指把一个平面图形沿一条直线折起使之成为空间图形的一类问题，这类问题对解题者的空间想象能力有较高要求，折叠问题是高考中的一个重要命题点． 【真题4】 (2019·全国卷Ⅲ改编)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中