2.3.3&2.3.4 点到直线的距离公式&两条平行直线间的距离（Word教参）-【状元桥·优质课堂】2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册（人教A版）

2.3.3　点到直线的距离公式 2．3.4　两条平行直线间的距离 [学习目标] 1.探索并掌握平面上点到直线的距离公式和两条平行直线间的距离公式.2.会求点到直线的距离与两平行直线间的距离(重点)． 要点　点到直线的距离、两条平行线间的距离 点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义 点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间的公垂线段的长 图示 公式(或求法) 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝·n|(M为任意一点，n为单位向量)|＝|，即| 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝ 判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　) (2)直线外一点与直线上任一点距离的最小值就是点到直线的距离．(　　) (3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离．(　　) (4)连接两条平行直线上的点，即得两平行线间的距离．(　　) 解析 (1)错误．点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离 d＝，即先将直线方程化为一般式后再运用点到直线的距离公式． (2)正确．由直线外一点与直线上任一点的连线中垂线段最短知结论成立，这是点到直线距离的代数特征． (3)正确．由平行线间距离的定义可知． (4)错误．两平行线间的距离是两平行线间的垂线段长，并不是两平行直线上任意两点间的距离． 答案 (1)×　(2)√　(3)√　(4)×　 考点一　点到直线的距离 规律总结 求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式；直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于此时直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离． 【例题1】 求在两坐标轴上截距相等，且与点A(3,1)的距离为的直线方程． 解析 ①当直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点时，设直线的方程为y＝kx(k≠0)，即kx－y＝0.由已知得或1，故所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0.，整理得7k2－6k－1＝0，解得k＝－＝ ②当直线在两坐标轴上的截距相等且不为0时，其斜率为－1，设直线为x＋y＋C＝0(C≠0)，由已知得，解得C＝－6或C＝－2.故所求直线方程为x＋y－6＝0或x＋y－2＝0.＝ 综上，所求直线方程为x＋7y＝0或x－y＝0或x＋y－6＝0或x＋y－2＝0. 【变式1】 求垂直于直线x＋3y－5＝0，且与点P(－1,0)的距离是的直线l的方程． 解析 设与直线x＋3y－5＝0垂直的直线的方程为3x－y＋m＝0，则由点到直线的距离公式知，点P到直线3x－y＋m＝0的距离d＝，所以|m－3|＝6，即m－3＝±6，得m＝9或m＝－3，故所求直线l的方程为3x－y＋9＝0或3x－y－3＝0.＝＝ 考点二　两平行线间的距离 规律总结 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式．若直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2(b1≠b2)，则d＝.必须注意两直线方程中x，y的系数分别对应相等．；若直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不全为0且C1≠C2)，则d＝ 【例题2】 (1)求两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0间的距离． (2)求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0的距离相等的直线l的方程． 解析 (1)由题意，将l2的方程化为3x＋5y＋.＝＝＝0，所以d＝ (2)由题意设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0(C≠4且C≠－2)．由直线l与两条平行直线的距离相等，可得，即|C－4|＝|C＋2|，解得C＝1.故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.＝ 【变式2】 已知直线5x＋12y－3＝0与直线10x＋my＋20＝0平行，则它们之间的距离是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．1 B．2 C. D．4 答案　A 解析　由两条直线平行可得＝1.故选A项．，解得m＝24，即5x＋12y＋10＝0，由两条平行线间的距离公式得d＝＝ 考点三　利用距离公式解决最值问题 解题技巧　 通过数形结合，运用运动变化的方法，把握住题中的已知点不动，而两条平行线可以绕点转动，我们很容易直观感受到两平行线间距离的变化情况，从而求出两平行线间的距离的取值范围． 【例题3】 已知两条互相平行的直线分别过A(6,2)和B(－3，－1)两点，设两条平行直线间的距离为d. (1)求d的取值范围； (2)当d取最大值时，求两条直线的方程． 解析 (1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的