专题11基本初等函数第七缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题11基本初等函数第七缉 1．【2021年浙江预赛】已知二次函数 有两个不同的零点.若 有四个不同的根 ,且 成等差数列，求 的取值范围. 【答案】答案见解析 【解析】设 的两个零点为 其中 , 则可知 为 的两根; 为 的两根, 所以 , 又 , 所以 , 记 , 其中 , . 2．【2021年广西预赛】设 在区间I上有定义.对任意的 不等式 总成立.设 且 证明 【答案】证明见解析 【解析】证明:(1)当 时， .令 ,由题设条件可得命题成立. (2)假设当 时命题成立.则当 时，对于 和满足 的 非负实数 ,令 . (2.1)若 ,即 ,则： . (2.2)若 ,记 , 则： ,且 . 因此， . 因为 ,所以 . 即 . ,由归纳假设有 , 从而 . 于是, . 因此，当 时命题也成立. 综上所述，命题成立. 3．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】对正整数及实数,定义, 其中表示不超过实数的最大整数,. 若整数满足, 求的值. 【答案】74 【解析】对,有 . 所以, . 同理得. 由条件知,即,故. 又,所以, 仅当时,为124的约数,进而有. 进而. 4．【2020年新疆预赛】已知函数 的定义域为 ,且对任意不同的 .都有 ,求证: 【答案】证明见解析 【解析】证明设 (1)若 ,则 ,即 (2)若 ,则 ， 而 ， 综上所述，对任意不同的 都有 . 5．【2019年内蒙古预赛】求函数的最小值 【答案】 【解析】，则共有项。 中间项为两项,第1019595,1019596项。经试值这两项都为. . 6．【2019年北京预赛】对于无理数,定义函数,定义域是正整数,其中是的小数点后第位的数字,规定,则的值域是 (A). (B). (C). (D). 【答案】D 【解析】易知的值域为,的值域为,的值域是. 7．【2019高中数学联赛B卷（第01试）】设a、b、c均大于1，满足，求的最大值. 【答案】 【解析】设lga=x，lgb=y，lgc=z，由a，b，>1可知x，y，z>0. 由条件及换底公式知，即. 由此，令x=3t，y=4t(t>0)，则. 其中由z>0可知t∈(0，1). 因此，结合三元平均值不等式得 . 当t=2－2t，即(相应的a、b、c分别为)时，取到最大值. 8．【2018年山西预赛】求解函数的最大最小值. 【答案】最大值为最小值为. 【解析】 易知函数定义域为全体实数，由于，令，则，所以，因此；函数y最大值为最小值为. 9．【2018年福建预赛】函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题. 已知函数f(x)满足：对任意的整数a，b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2，且f(－2)=－3.求f(96)的值. 【答案】4750 【解析】 在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令a=b=a，得 f(0)=f(0)+f(0)+0+2，于是f(0)=－2. 在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令a=2，b=－2，得f(0)=f(2)+f(－2)－4+2. ∴－2=f(2)_3－4+2，f(2)=3. 在f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+2中，令a=n－2，b=2，得 f(n)=f(n－2)+f(2)+2(n－2)+2=f(n－2)+3+2(n－2)+2=f(n－2)+2n+l. ∴f(n)－f(n－2)=2n+1. ∴f(96)－f(94)=2×96+1， f(94)－f(92)=2×94+1， f(94)－f(92)=2×94+1， …… 上述等式左右两边分别相加，得f(96)－f(2)=2(96+94+…+4)+47. ∴. 10．【2018年贵州预赛】已知函数，求该函数的值域． 【答案】 【解析】 令u=x－1，则，则 设，则，且 当u>0时，． 由于0<t≤1，故函数单调递减，所以y≥1+2+3=6 当u<0时，（当且仅当，即时取等号） 所以函数的值域为. 故答案为： 11．【2018年浙江预赛】设，且对任意实数b均有，求a的取值范围. 【答案】 【解析】 解1：，对于， 所以只要考虑. （1）当时，即，此时函数的最值在拋物线的左右端点取得，