专题10基本初等函数第六缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题10基本初等函数第六缉 1．【2021年吉林预赛】关于 的方程 只有一个实数解，则( ) A. B. C. D. 的值不唯一 【答案】B 【解析】函数 的图象关于直线 对称. 又方程只有一个实数解，所以 得 . 当 时, ,当且仅当 时取等号. 即方程 只有一个实数解，符合题设. 选B. 2．【2021年吉林预赛】已知函数 若对 ,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D.[0,1] 【答案】 【解析】函数f（x）在R上递减，且4f（x）=f（2x）， 拆以 . 所以 ,解專 . 选 . 3．【2020年吉林预赛】设 是定义在实数集 上的函数,并且满足下列关系: , . 则 是( ) A.偶函数,又是周期函数 B.偶函数,但不是周期函数 C.奇函数,又是周期函数 D.奇函数,但不是周期函数 【答案】C 【解析】 . 从而, 为周期函数. 又 ， 于是, 为奇函数. 4．【2020年吉林预赛】已知函数 为单调函数,且 时,均有 则 ( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 【答案】 【解析】设 为常数 由 由 ,解得 从而, . 因此, 5．【2019年贵州预赛】方程组的解的组数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】B 【解析】解法1:分别画出与的图像,从中看出两图像有六个交点,故方程组解的组数有六组. 解法2:由题意得或, 即或, 令,则f(x)是偶函数且在(0,+∞)上单调递增.分别作直线y=e-1和y=e+1与f(x)相交,设交点的横坐标分别是,则原方程组有6组解,分别是:. 6．【2018年福建预赛】已知定义在R上的函数f(x)满足：且f(x+2)=f(x)，，则方程f(x)=g(x)在区间[3，7]上的所有实根之和为（ ） A．14 B．12 C．11 D．7 【答案】C 【解析】 如图，作出函数的图像. 由图像可知，两函数的图像在区间[－3，7]上有5个不同的交点.设它们的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5. 由于函数y=f(x)与y=g(x)的图像均关于点(2，－2)对称. 所以，x1+ x5=4，x2+x4=4，x3=3. 所以，方程f(x)=g(x)在区间[－3，7]上的所有实根之和x1+ x2+x3+x4+x5=11. 选C. 7．【2018年北京预赛】若上周期为5的奇函数，且满足，则 A．6. B．7. C．8. D．9. 【答案】D 【解析】 因为上周期为5的奇函数，所以， . 选D. 8．【2018年北京预赛】设是定义在上的函数，若存在两不等实数，使得，则称函数具有性质，那么以下函数： ①；②；③；④中，不具有性质的函数为 A．①. B．②. C．③. D．④. 【答案】B 【解析】 具有性质的函数的特点是：存在一条直线与函数图象有三个交点，且其中一个是另外两个交点的中点.画图可知①、③、④都是具有性质的函数，②不具备有三个交点，②是不具有性质的函数, 选B. 9．【2018年湖南预赛】若，则等于( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ； 故选D. 10．【2018年湖南预赛】定义在上的函数满足，且当时，，对，使得，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 由题知问题等价于函数上的值域是函数上的值域的子集．当时，，由二次函数及对勾函数的图象及性质，得此时，由，可得，当时，．则的值域为．当时，，则有，解得，当时，，不符合题意；当时，，则有，解得．综上所述，可得的取值范围为 ．故本题答案选． 点睛：求解分段函数问题应对自变量分类讨论，讨论的标准就是自变量与分段函数所给出的范围的关系，求解过程中要检验结果是否符合讨论时的范围．讨论应该　不重复不遗漏． 11．【2018年陕西预赛】已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 12．【2018年陕西预赛】设，且，则的最小值是（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】 由题意得，不妨设. ，等式右边是的偶函数，故不妨令 . ， 故当且仅当时取最小值. 13．【2018年陕西预赛】已知，则的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 . 14．【2018年陕西预赛】设，且，则的最小值是（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【解析】 由题意得，不妨设. ，等式右边是的偶函数，故不妨