第二章 一元二次函数、方程和不等式 专题03 一元二次不等式恒成立问题-2021-2022学年“高人一筹”之高一数学“痛点”大揭秘（人教A版2019必修第一册）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 专题3 一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题是数学中常见的问题，在高考中频频出现，是高考的一个难点问题。含参一元二次不等式恒成立问题设计二次函数的性质和图象，渗透着换元、划归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力。 【题型导图】 类型一 实数集R上的不等式恒成立问题 例1：若一元二次不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：由已知可知 ， 所以要一元二次不等式 对一切实数 恒成立，则 ， 即 ，解得 ， 所以 的取值范围为 ， 故选：A 【变式1】“ ”是“一元二次不等式 恒成立”的 A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】 由一元二次不等式 恒成立，则 且 ， 反之， 时，如： 不恒成立， 故选B. 【变式2】设 为实数，若关于 的一元二次不等式 恒成立，则 的取值范围是_____. 【答案】 【详解】 一元二次不等式 恒成立， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 ． 的取值范围是 ． 故答案为： ． 【变式3】若不等式 在实数集 上恒成立，求 的取值范围. 【答案】 . 【详解】 解：一元二次不等式 在实数集 上恒成立，则 ， 即 ， 整理得 ， 解得 ， 所以 的取值范围是 . 【痛点直击】一元二次不等式在实数集R上的恒成立问题，可结合图象，考虑图象的开口方向以及图象与x轴的交点个数判断即可，可从二次项系数的正负和判别式两个方面来考虑。 类型二 在给定区间上一元二次不等式恒成立问题 例2. ，一元二次不等式 恒成立，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 设 ，对称轴为 ， （1）当 ，即 时， 一元二次不等式 恒成立， 只需 ，即 ， 解得 ，此时 不存在. （2）当 时，即 ， 一元二次不等式 恒成立， 只需 ，即 ，即 ，此时， . （3）当 时，即 ， 一元二次不等式 恒成立， 只需 ，解得： ，此时 . 综上： EMBED Equation.DSMT4 . 故选：D. 【变式1】（2021·全国高一课时练习）当 时，一元二次不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】 【详解】 对于二次函数 ，抛物线开口向上，当 时，一元二次不等式 恒成立，则当 时函数值 ，且当 时函数值 . 得 ，解得 . 所以 的取值范围是 . 【变式2】（2021·吉林白城市·白城一中高一月考）已知二次函数 . 若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】答案见解析. 【详解】 不等式 即为： ， 当 时，可变形为： ，即 . 又 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， ，即 . 实数 的取值范围是： . 【变式3】若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】 【详解】 解：对于任意的 ， 恒成立， 即 恒成立， 对任意的 ， 恒成立， 当 时， 恒成立， 因为 时，所以 ， 所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立， 所以 ， 所以实数 的取值范围为 ． 【痛点直击】解决含参数的一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，一种方法可转化为求函数的最值问题，另一种方法，利用分离参数法，转化为求函数最值问题，进而求参数的范围。 类型三 已知参数范围的一元二次不等式恒成立问题 例3.（2021·全国高一课时练习）关于x的函数y=x2 （a 1）x 2a对于任意a∈[ 1，1]的值都有y>0，求实数x的取值范围. 【答案】（ ∞， EMBED Equation.DSMT4 ）∪（ ，+∞） 【详解】 设f（a）=x2 （a 1）x 2a，则有f（a）=（2 x）a x2 x，a∈[ 1，1]， ∵当a∈[ 1，1]时，y=f（a）>0恒成立，则 （1）当x=2时，f（a）=2>0显然成立； （2）当x≠2时，由f（a）>0在a∈[ 1，1]上恒成立，得 即 解得x> 或x< EMBED Equation.DSMT4 . 综上可得实数x的取值范围为（ ∞， EMBED Equation.DSMT4 ）∪（ ，+∞）. 【变式1】（2021·全国）已知不等式 ． （1）若对于所有的实数 不等式恒成立，求 的取值范围； （2）设不等式对于满足 的一切 的值都成立，求 的取值范围． 【答案】（1） ， ；（2） ， ， ． 【详解】 解:（1） 时， 恒成立， 时， ，解得： ， 综上， 的范围是 ， ； （2）由题意易知 ，设 ， 因为不等式对于满足 的一切 的值都成立，所以 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 或 ， 故 的范围是