必考点08 圆与圆的位置关系-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点08 圆与圆的位置关系 题型一 圆与圆的位置关系 例题1已知两圆C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判断圆C1与圆C2的位置关系． 【解析】(法一：几何法) 把圆C1的方程化为标准方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圆C1的圆心坐标为(－2，－2)，半径长r1＝. 把圆C2的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圆C2的圆心坐标为(1,4)，半径长r2＝5. 圆C1和圆C2的圆心距d＝ ＝3， 又圆C1与圆C2的两半径长之和是r1＋r2＝5＋，两半径长之差是r2－r1＝5－. 而5－<3<5＋，即r2－r1<d<r1＋r2， 所以两圆的位置关系是相交． (法二：代数法) 将两圆的方程联立得到方程组 由①－②得x＋2y＋1＝0，③ 由③得x＝－2y－1，把此式代入①， 并整理得y2－1＝0，④ 所以y1＝1，y2＝－1，代入x＋2y＋1＝0得x1＝－3，x2＝1. 所以圆C1与圆C2有两个不同的公共点(－3,1)，(1，－1)，即两圆的位置关系是相交． 【解题技巧提炼】 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系． 题型二 圆与圆相交 例题1已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，与圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0相交于A，B两点，求AB所在的直线方程和公共弦AB的长． 【解析】由圆C1的方程减去圆C2的方程，整理，得方程3x－4y＋6＝0，又由于方程3x－4y＋6＝0是由两圆相减得到的，即两圆交点的坐标一定是方程3x－4y＋6＝0的解．因为两点确定一条直线，故3x－4y＋6＝0是两圆公共弦AB所在的直线方程． ∵圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0， ∴圆心为C1(－1,3)，半径r＝3， ∴圆心C1到直线AB的距离d ＝＝， ∴│AB│＝2＝2＝. ∴AB所在的直线方程为3x－4y＋6＝0，公共弦AB的长为. 【解题技巧提炼】 1．圆系方程 一般地，过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程． 2．两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 3．公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 题型一 圆与圆的位置关系 1. 当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？ 【解析】将两圆的一般方程化为标准方程， C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝(k＜50)， 从而|C1C2|＝＝5. 当1＋＝5，即k＝34时，两圆外切． 当|－1|＝5，即＝6，即k＝14时，两圆内切． 当|－1|＜5＜1＋， 即14＜k＜34时，两圆相交． 当1＋＜5或|－1|＞5， 即k＜14或34＜k＜50时，两圆相离． 2.圆和圆的公共弦的垂直平分线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心， 圆的圆心， 所以的中点坐标为，，即， 所以两圆的公共弦的垂直平分线即是圆心所在的直线：，即， 故选：． 题型二 圆与圆相交 1.直线被圆截得的弦长为，则实数______；圆与圆的公共弦所在直线方程是______． 【答案】-1 【解析】的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为， 所以，由于，故解得. 所以， ， 故公共弦所在直线方程为. 故答案为：； 2.已知圆，，则这两圆的公共弦长为（ ） A．2 B． C．2 D．1 【答案】C 【解析】由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为. 又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为. 故选：C. 一、单选题 1．已知圆和圆，则两圆的位置关系为（ ） A．外离 B．外切 C．相交