必考点07 直线与圆的位置关系-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点02 直线的方程 题型一 判断直线与圆的位置关系 例题1知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系． 【解析】(法一：代数法) 由方程组 消去y后整理，得5x2－50x＋61＝0. ∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280＞0， ∴该方程组有两组不同的实数解，即直线l与圆C相交． (法二：几何法) 圆心(7,1)到直线l的距离为d＝＝2. ∵d＜r＝6，∴直线l与圆C相交． 【解题技巧提炼】 判断直线与圆位置关系的方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．　　　　 题型二 直线与圆相切 例题1过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程． 【解析】∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1， ∴点A在圆外． 法一：当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1， 不满足题意． 设直线l的斜率为k，则方程为y－4＝k(x＋1) 即kx－y＋4＋k＝0. 圆心(2,3)到切线l的距离为＝1， 解得k＝0或k＝－， 因此，所求直线l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0. 法二：由于直线l与圆相切，所以方程组只有一解． 消去y，得到关于x的一元二次方程(1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0， 则Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0， 解得8k2＋6k＝0， 即k＝0或k＝－， 因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0. 【解题技巧提炼】 1．求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 2．过圆外一点(x0，y0)的切线方程的求法 设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 题型三 直线与圆相交所得弦长与距离问题 圆C：被直线截得的最短弦长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线过定点，圆心，当直线与弦垂直时，弦长最短，，所以最短弦长为，故选：B． 【解题技巧提炼】 弦长问题 直线 与圆 的位 置关 系 位置关系 相交 相切 相离 距离问题 圆上点与直线 题型一 判断直线与圆的位置关系 1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是 (　　) A．相交　　　　　　　　　 B．相离 C．相交或相切 D．相切 【答案】C 【解析】直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，而(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交． 2．已知点(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2(r＞0)的外部，则直线ax＋by＝r2与C的位置关系是(　　) A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 【答案】C 【解析】由已知a2＋b2＞r2，且圆心到直线ax＋by＝r2的距离为d＝，则d＜=r，故直线ax＋by＝r2与圆C的位置关系是相交. 题型二 直线与圆相切 1．直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为(　　) A．0或2 B．2 C. D．无解 【答案】B　 【解析】由于直线与圆相切，故＝，解得m＝0(舍去)或m＝2. 2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为(　　) A．x＋y－2＝0 B．x＋y－4＝0 C．x－y＋4＝0 D．x－y＋2＝0 【答案】D　 【解析】点P在圆上，圆x2＋y2－4x＝0化为(x－2)2＋y2＝4， 圆心M(2,0)，半径为2. kMP＝＝－， 切线l的斜率kl＝， 因此切线l的方程为y－＝(x－1)， 整理得x－y＋2＝0. 3.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，则过点(3,5)并与圆C相切的切线方程为________． 【答案】5x－12y＋45＝0或x＝3　 【解析】由于点(3,5)到圆心的距离为＝＞2＝r，得到点(3,5)在圆外． 当切线的斜率存在时，设方程为y－5＝k(x－3)，由圆心到切线的距离d＝＝2， 化简得12k＝5，可解得k＝， ∴切线方程为5x－12y＋45＝0. 当过(3,5)的直线斜率不存在时，直线方程为x＝3，与圆相切． 综上可知切线方程为5x－12y＋45＝0或x＝3. 题型三 直线与圆相交所得弦长与距离问题 1.已知直线y=x与圆O∶x2+y2=9交于A， B两点，则（ ） A．